Runge-Kutta

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Julia21X Auf diesen Beitrag antworten »
Runge-Kutta
Hey alle zusammen weiss jemand wie ich bei der a ) vorgehen soll?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Für das Schema



ist



und



Das Anfangswertproblem dieser Aufgabe hat



Es gilt

Julia21X Auf diesen Beitrag antworten »



Wie geht es weiter ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ein gibt es es nicht, das taucht nirgendwo in der Rechnung auf. Du musst das Schema für einsetzen. Gut, das ist geschenkt, da muss man nur einsetzen:







Nun setzt du ein und bekommst





Das ist ein lineares Gleichungssystem in . Die Lösungen kommen in die Formel für . Damit ist dann ein iteratives Verfahren zur Berechnung der Folge gewonnen.
Julia21X Auf diesen Beitrag antworten »

Was setze ich für das tj , h und uj für werte ein ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich in meinem ersten Post bereits geschrieben. Allg. ist die Schrittweite und in der Aufgabe steht . Die Folge der ist damit



Das wird berechnet, indem in die hergeleitete Iterations-Vorschrift eingesetzt wird. Entsprechend das , indem eingesetzt wird.
 
 
Julia21X Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Julia21X
[quote]Original von Finn_
Ein gibt es es nicht, das taucht nirgendwo in der Rechnung auf. Du musst das Schema für einsetzen. Gut, das ist geschenkt, da muss man nur einsetzen:







Nun setzt du ein und bekommst





Wie bist du auf die Gleichung von k1 und k2 gekommen ?

Ich meine damit die letzten k1 und k2 Gleichungen oben

Bei dem ersten Schritt von der k1 Gleichung , lässt man da einfach tj stehen ?
Muss man da nicht t1 einsetzen ?
Und bei der k2 gleichung für tj = t2 einsetzen?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird bzw. eingesetzt, das bleibt so stehen.

Allg. ergibt sich so bei jedem Iterationsschritt ein neues Gleichungssystem, worin die Gesuchten sind, und aus dem vorherigen Schritt berechnete Parameter. Hierbei ist die Laufvariable der Schritte.

Nun wird eingesetzt. Also wenn da steht f(Apfel,Birne), dann kommt -4Birne bei raus.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Der Funktionsterm kommt vom gegebenen Anfangswertproblem

Julia21X Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe immer noch nicht sorry wo die Gleichung vom Bild her kommt ?
Wo setzt du was ein? traurig
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich geschrieben habe, wegen ist

Julia21X Auf diesen Beitrag antworten »

Wo bleibt das tj + h beim einsetzen ?

Wieso setzt man für das y nur (uj+h...... ein?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

So wie das in enfällt, entfällt der Term in

Julia21X Auf diesen Beitrag antworten »




Das ist dann mein uj eingesetzt ?

Wie berechne ich das u1 bei der b)?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

So einfach ist das nicht, da von sich selbst abhängig sind. Beachte doch, was ich oben geschrieben habe:

Zitat:
Original von Finn_
Das ist ein lineares Gleichungssystem in . Die Lösungen kommen in die Formel für .
Julia21X Auf diesen Beitrag antworten »

hmm wie berechne ich das k1 oder k2 hier ?

Mit LGS geht das ja nicht so einfach
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Setze und , dann lautet das LGS kurz




Das macht





und somit

Julia21X Auf diesen Beitrag antworten »

Soll ich das K1 in Buchstaben jetzt zuerst mal in die uj Formel einsetzen und hiernach das k2?

Sorry das ich dauernd frage .
Ohne deine Hilfe hätte ich die Aufgabe nicht geschafft Big Laugh
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

In der Formel steht doch der Term . Deswegen habe ich den ja in der letzten Zeile ausgerechnet. Darin nur noch resubstituieren und fertig. Eventuell noch den Bruch mit erweitern, damit es hübscher ausschaut.

Die Unbekannten sind dann aus der Iteration eliminiert.
Julia21X Auf diesen Beitrag antworten »



Das ist dann das uj oder ?


Wie geht es bei der b) weiter?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das wird wohl stimmen.

[attach]52011[/attach]

Die blaue Kurve ist die exakte Lösung. Die magenta Punkte sind nach der gefundenen Formel berechnet und die kleinen grünen Punkte sind Euler-Verfahren mit Schrittweite 1/20.
Julia21X Auf diesen Beitrag antworten »

YEAH Big Laugh Big Laugh Big Laugh

Wie geht es bei der b) weiter ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist nicht mehr viel zu machen. Der wesentliche Teil war die Bestimmung der Iteration , mit der man jetzt und berechnet. Das sind Näherungen der Funktionswerte an den Stellen ab 0 bei Schrittweite h, also

Julia21X Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du kurz erklären wie u1 ausgerechnet wird ?
Dann rechne ich u2 selbst aus Big Laugh
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Das steht doch alles schon da. Die Iteration



tippst du in den Taschenrechner ein, bzw. in Python:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
def phi(u):
    return u - 0.5*h*8*u/(1+4*h/3)**2

h = 1.0/4
u0 = 1.0

u1 = phi(u0)
u2 = phi(u1)

print("u1 =",u1)
print("u2 =",u2)


Diese Iteration ist übrigens eine rekursiv beschriebene geometrische Folge, die sich schließlich zu



vereinfachen lässt.

Du wirkst da ziemlich unsicher. Hast du dich schon einmal mit grundlegenden Iterationsverfahren wie Fixpunktiteration, Newton-Verfahren und Euler-Verfahren beschäftigt?
Julia21X Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf
h = 1.0/4 Was bedeutet das?

Und U0 =1?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Beides laut Aufgabenstellung. Schrittweite und Anfangswert .
Julia21X Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist es bei u1 und u2 ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird lediglich in die gefundene Gleichung



eingesetzt.
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