Runge-Kutta

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10.10.2020, 12:45

Julia21X

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Runge-Kutta

Hey alle zusammen weiss jemand wie ich bei der a ) vorgehen soll?

10.10.2020, 19:00

Finn_

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Für das Schema

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c|cc} c_1 & a_{11} & a_{12}\\ c_2 & a_{21} & a_{22}\\ \hline & b_1 & b_2\end{array} \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} k_i = f(t_j+hc_i, u_j+h\cdot(a_{i1}k_1+a_{i2}k_2)) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} u_{j+1} = u_j+h\cdot (b_1k_1+b_2k_2). \end{eqnarray*}$

Das Anfangswertproblem dieser Aufgabe hat

$\begin{eqnarray*} f(t,y) = -4y,\quad t_0=0,\quad u_0=y(t_0)=1. \end{eqnarray*}$

Es gilt

$\begin{eqnarray*} u_j \approx y(t_j),\quad t_j = t_0+hj. \end{eqnarray*}$

11.10.2020, 10:13

Julia21X

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$\begin{eqnarray*} k0 = f( t0+hco,u0+ h*(a01+a02k2)) \end{eqnarray*}$

Wie geht es weiter ?

11.10.2020, 15:47

Finn_

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Ein $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ gibt es es nicht, das taucht nirgendwo in der Rechnung auf. Du musst das Schema für $\begin{eqnarray*} k_1,k_2 \end{eqnarray*}$ einsetzen. Gut, das ist geschenkt, da muss man nur einsetzen:

$\begin{eqnarray*} k_1 = f(t_j+h, u_j+h\cdot(\tfrac{1}{3}k_1+\tfrac{2}{3}k_2)), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_2 = f(t_j+\tfrac{1}{3}h, u_j+\tfrac{1}{3}hk_2), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{j+1} = u_j + h\cdot(\tfrac{1}{2}k_1+\tfrac{1}{2}k_2) = u_j + \tfrac{h}{2}(k_1+k_2). \end{eqnarray*}$

Nun setzt du $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein und bekommst

$\begin{eqnarray*} k_1 = -4u_j-\tfrac{4h}{3}\cdot(k_1+2k_2), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_2 = -4u_j-\tfrac{4h}{3}k_2. \end{eqnarray*}$

Das ist ein lineares Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} k_1,k_2 \end{eqnarray*}$ . Die Lösungen kommen in die Formel für $\begin{eqnarray*} u_{j+1} \end{eqnarray*}$ . Damit ist dann ein iteratives Verfahren zur Berechnung der Folge $\begin{eqnarray*} (u_0,u_1,u_2,\ldots) \end{eqnarray*}$ gewonnen.

11.10.2020, 16:28

Julia21X

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Was setze ich für das tj , h und uj für werte ein ?

11.10.2020, 17:34

Finn_

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Das habe ich in meinem ersten Post bereits geschrieben. Allg. ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Schrittweite und in der Aufgabe steht $\begin{eqnarray*} h=\tfrac{1}{4} \end{eqnarray*}$ . Die Folge der $\begin{eqnarray*} t_j=t_0+hj \end{eqnarray*}$ ist damit

$\begin{eqnarray*} t_0=t_0,\quad t_1=t_0+\tfrac{1}{4},\quad t_2=t_0+\tfrac{2}{4},\quad t_3=t_0+\tfrac{3}{4},\quad\ldots \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ wird berechnet, indem $\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ in die hergeleitete Iterations-Vorschrift eingesetzt wird. Entsprechend das $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ , indem $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt wird.

11.10.2020, 19:13

Julia21X

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Zitat:

Original von Julia21X
[quote]Original von Finn_
Ein $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ gibt es es nicht, das taucht nirgendwo in der Rechnung auf. Du musst das Schema für $\begin{eqnarray*} k_1,k_2 \end{eqnarray*}$ einsetzen. Gut, das ist geschenkt, da muss man nur einsetzen:

$\begin{eqnarray*} k_1 = f(t_j+h, u_j+h\cdot(\tfrac{1}{3}k_1+\tfrac{2}{3}k_2)), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_2 = f(t_j+\tfrac{1}{3}h, u_j+\tfrac{1}{3}hk_2), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{j+1} = u_j + h\cdot(\tfrac{1}{2}k_1+\tfrac{1}{2}k_2) = u_j + \tfrac{h}{2}(k_1+k_2). \end{eqnarray*}$

Nun setzt du $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein und bekommst

$\begin{eqnarray*} k_1 = -4u_j-\tfrac{4h}{3}\cdot(k_1+2k_2), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_2 = -4u_j-\tfrac{4h}{3}k_2. \end{eqnarray*}$

Wie bist du auf die Gleichung von k1 und k2 gekommen ?

Ich meine damit die letzten k1 und k2 Gleichungen oben

Bei dem ersten Schritt von der k1 Gleichung , lässt man da einfach tj stehen ?
Muss man da nicht t1 einsetzen ?
Und bei der k2 gleichung für tj = t2 einsetzen?

11.10.2020, 19:39

Finn_

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Es wird $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} i=2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt, das $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ bleibt so stehen.

Allg. ergibt sich so bei jedem Iterationsschritt ein neues Gleichungssystem, worin $\begin{eqnarray*} k_1,k_2 \end{eqnarray*}$ die Gesuchten sind, und $\begin{eqnarray*} t_j,u_j \end{eqnarray*}$ aus dem vorherigen Schritt berechnete Parameter. Hierbei ist $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ die Laufvariable der Schritte.

Nun wird $\begin{eqnarray*} f(t,y)=-4y \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Also wenn da steht f(Apfel,Birne), dann kommt -4Birne bei raus.

11.10.2020, 19:44

Finn_

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Der Funktionsterm $\begin{eqnarray*} f(t,y) \end{eqnarray*}$ kommt vom gegebenen Anfangswertproblem

$\begin{eqnarray*} y'(t) = f(t,y(t)),\quad y(t_0)=y_0. \end{eqnarray*}$

11.10.2020, 20:50

Julia21X

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Ich verstehe immer noch nicht sorry wo die Gleichung vom Bild her kommt ?
Wo setzt du was ein? traurig

11.10.2020, 22:00

Finn_

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Wie ich geschrieben habe, wegen $\begin{eqnarray*} f(t,y)=-4y \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} k_1 = f(t_j+h,\; u_j+h\cdot(\tfrac{1}{3}k_1+\tfrac{2}{3}k_2)) = -4\bigg(u_j+h\cdot(\tfrac{1}{3}k_1+\tfrac{2}{3}k_2)\bigg). \end{eqnarray*}$

13.10.2020, 17:29

Julia21X

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Wo bleibt das tj + h beim einsetzen ?

Wieso setzt man für das y nur (uj+h...... ein?

13.10.2020, 19:52

Finn_

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So wie das $\begin{eqnarray*} \color{blue}t \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f({\color{blue}t},{\color{magenta}y})=-4{\color{magenta}y} \end{eqnarray*}$ enfällt, entfällt der Term $\begin{eqnarray*} {\color{blue}t_j+h} \end{eqnarray*}$ in

$\begin{eqnarray*} k_1 = f({\color{blue}t_j+h},\; {\color{magenta}u_j+h\cdot(\tfrac{1}{3}k_1+\tfrac{2}{3}k_2)}) = -4{\color{magenta}\bigg(u_j+h\cdot(\tfrac{1}{3}k_1+\tfrac{2}{3}k_2)\bigg)}. \end{eqnarray*}$

13.10.2020, 19:59

Julia21X

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$\begin{eqnarray*} u_{j+1} = u_j + h\cdot(\tfrac{1}{2}k_1+\tfrac{1}{2}k_2) = u_j + \tfrac{h}{2}(.-4u_j-\tfrac{4h}{3}\cdot(k_1+2k_2)-4u_j-\tfrac{4h}{3}k_2). \end{eqnarray*}$

Das ist dann mein uj eingesetzt ?

Wie berechne ich das u1 bei der b)?

13.10.2020, 20:08

Finn_

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So einfach ist das nicht, da $\begin{eqnarray*} k_1,k_2 \end{eqnarray*}$ von sich selbst abhängig sind. Beachte doch, was ich oben geschrieben habe:

Zitat:

Original von Finn_
Das ist ein lineares Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} k_1,k_2 \end{eqnarray*}$ . Die Lösungen kommen in die Formel für $\begin{eqnarray*} u_{j+1} \end{eqnarray*}$ .

13.10.2020, 20:25

Julia21X

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hmm wie berechne ich das k1 oder k2 hier ?

Mit LGS geht das ja nicht so einfach

13.10.2020, 20:58

Finn_

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Setze $\begin{eqnarray*} A:=-4u_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B:=-\tfrac{4h}{3} \end{eqnarray*}$ , dann lautet das LGS kurz

$\begin{eqnarray*} k_1 = A+B\cdot (k_1+2k_2), \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_2 = A+Bk_2. \end{eqnarray*}$

Das macht

$\begin{eqnarray*} k_2 = \frac{A}{1-B}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 = \frac{A}{1-B}+\frac{2Bk_2}{1-B} = \frac{A}{1-B}+\frac{2AB}{(1-B)^2}, \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} k_1+k_2 = 2A\cdot\left(\frac{1}{1-B}+\frac{B}{(1-B)^2}\right) = 2A\cdot\left(\frac{1-B+B}{(1-B)^2}\right) = \frac{2A}{(1-B)^2}. \end{eqnarray*}$

13.10.2020, 21:08

Julia21X

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Soll ich das K1 in Buchstaben jetzt zuerst mal in die uj Formel einsetzen und hiernach das k2?

Sorry das ich dauernd frage .
Ohne deine Hilfe hätte ich die Aufgabe nicht geschafft Big Laugh

13.10.2020, 21:22

Finn_

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In der Formel steht doch der Term $\begin{eqnarray*} k_1+k_2 \end{eqnarray*}$ . Deswegen habe ich den ja in der letzten Zeile ausgerechnet. Darin nur noch $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ resubstituieren und fertig. Eventuell noch den Bruch mit $\begin{eqnarray*} 3^2 \end{eqnarray*}$ erweitern, damit es hübscher ausschaut.

Die Unbekannten $\begin{eqnarray*} k_1,k_2 \end{eqnarray*}$ sind dann aus der Iteration eliminiert.

13.10.2020, 21:31

Julia21X

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$\begin{eqnarray*} u_{j+1} = u_j + h\cdot(\tfrac{1}{2}k_1+\tfrac{1}{2}k_2) = u_j + \tfrac{h}{2}( \frac{-8u_{j}}{(1+ 4h/3)^2} ). \end{eqnarray*}$

Das ist dann das uj oder ?

Wie geht es bei der b) weiter?

13.10.2020, 21:52

Finn_

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Ja, das wird wohl stimmen.

[attach]52011[/attach]

Die blaue Kurve ist die exakte Lösung. Die magenta Punkte sind nach der gefundenen Formel berechnet und die kleinen grünen Punkte sind Euler-Verfahren mit Schrittweite 1/20.

13.10.2020, 21:55

Julia21X

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YEAH

Wie geht es bei der b) weiter ?

13.10.2020, 22:25

Finn_

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Da ist nicht mehr viel zu machen. Der wesentliche Teil war die Bestimmung der Iteration $\begin{eqnarray*} u_{j+1}=\varphi(u_j) \end{eqnarray*}$ , mit der man jetzt $\begin{eqnarray*} u_1=\varphi(u_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2=\varphi(u_1) \end{eqnarray*}$ berechnet. Das sind Näherungen der Funktionswerte an den Stellen ab 0 bei Schrittweite h, also

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c|c|c|c|c|c}t= & 0 & 1h & 2h & 3h &\ldots\\ \hline y(t)\approx & u_0 & u_1 & u_2 & u_3 & \ldots\end{array} \end{eqnarray*}$

14.10.2020, 12:26

Julia21X

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Kannst du kurz erklären wie u1 ausgerechnet wird ?
Dann rechne ich u2 selbst aus Big Laugh

14.10.2020, 17:38

Finn_

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Das steht doch alles schon da. Die Iteration

$\begin{eqnarray*} \varphi(u) = u + \tfrac{h}{2}(\frac{-8u}{(1+ 4h/3)^2}) \end{eqnarray*}$

tippst du in den Taschenrechner ein, bzw. in Python:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:	def phi(u): return u - 0.5h8u/(1+4h/3)**2 h = 1.0/4 u0 = 1.0 u1 = phi(u0) u2 = phi(u1) print("u1 =",u1) print("u2 =",u2)

Diese Iteration ist übrigens eine rekursiv beschriebene geometrische Folge, die sich schließlich zu

$\begin{eqnarray*} u_j = \Big(\frac{7}{16}\Big)^j \end{eqnarray*}$

vereinfachen lässt.

Du wirkst da ziemlich unsicher. Hast du dich schon einmal mit grundlegenden Iterationsverfahren wie Fixpunktiteration, Newton-Verfahren und Euler-Verfahren beschäftigt?

18.10.2020, 21:10

Julia21X

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Wie kommst du auf
h = 1.0/4 Was bedeutet das?

Und U0 =1?

18.10.2020, 22:06

Finn_

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Beides laut Aufgabenstellung. Schrittweite $\begin{eqnarray*} h=\tfrac{1}{4} \end{eqnarray*}$ und Anfangswert $\begin{eqnarray*} u_0=y(0)=1 \end{eqnarray*}$ .

19.10.2020, 18:30

Julia21X

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Wie ist es bei u1 und u2 ?

19.10.2020, 18:53

Finn_

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Es wird lediglich $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ in die gefundene Gleichung

$\begin{eqnarray*} u_{j+1} = u_j + \tfrac{h}{2}(\frac{-8u_j}{(1+4h/3)^2}) \end{eqnarray*}$

eingesetzt.

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