Potenzreihe bestimmen

11.10.2020, 14:26	Alexnator	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe bestimmen Meine Frage: Bestimmen Sie die Potenzreihe der Funktion f(x) = sin(x) + cos(x). Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } (-1)^k x^k/k! \end{eqnarray*}$ jedoch in der Lösung steht (-1)^k/2 woher kommt das?
11.10.2020, 14:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf die Vorzeichen ist das die Exponentialreihe. Im Unterschied zu dieser folgen auf zwei positive Glieder zwei negative, dann wieder zwei positive, dann wieder zwei negative, und so weiter: $\begin{align} \sin(x) + \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon_n \frac{x^n}{n!} \ \ \text{mit} \ \ \left( \varepsilon_n \right) = \left( 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1, \ldots \right) \end{align}$ In deiner Lösung beginnt die Reihe falsch, und das Vorzeichen wechselt nach jedem Glied. Was in der Lösung steht, kann aufgrund deiner kryptischen Angaben nicht beurteilt werden.
11.10.2020, 14:53	Alexnator	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für Ihre Antwort. In der Lösung steht dieses Ergebnis: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } (-1)^{k/2} x^k/k! \end{eqnarray*}$ hierbei sei [k/2] die größte ganze Zahl, kleiner oder gleich k/2. Wenn Sie mir erklären könnten, wie das gemeint ist, dann wäre ich Ihnen sehr dankbar. LG
11.10.2020, 15:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn schon, dann muß das auch im Exponenten richtig stehen. Und immer noch beginnt die Summe falsch. Es geht mit $\begin{align} k=0 \end{align}$ los: $\begin{align} \sin(x) + \cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{\left[ \frac{k}{2} \right]} \frac{x^k}{k!} \end{align}$ Die eckige Klammer bezeichnet hier die sogenannte Gauß-Klammer. Sie bewirkt eine Abrundung zur nächsten ganzen Zahl, zum Beispiel $\begin{align} k=6 \end{align}$ und $\begin{align} k=7 \end{align}$ : $\begin{align} (-1)^{\left[ \frac{6}{2} \right]} = (-1)^3 = -1 \end{align}$ $\begin{align} (-1)^{\left[ \frac{7}{2} \right]} = (-1)^3 = -1 \end{align}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »