Umgangston! Komplexe Zahlen per e-Funktion - Seite 2

10.10.2020, 12:52

dsyleixa

Zitat:

Original von Elvis

Zitat:

Original von dsyleixa
es ist wie mit den Bahnschienen, die sich "in der Unendlichkeit" in 1 Punkt treffen.
Aber wo soll das sein? Geh doch mal dort hin...! Augenzwinkern

Es ist nur eine Redeweise für eine zunehmende Approximierung, aber keine echte Identität.

Mit Bahnschienen hast du sicher recht, das sind ja auch keine unendlichen Geraden, sondern endliche Strecken. Auf der Riemannschen Zahlenkugel treffen sich nicht nur parallele Geraden sondern alle Geraden im Punkt $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Ich war schon da, ich hab's gesehen, es ist wirklich so.

Die "Bahnschienen" waren nur eine gedankliche Repräsentation von parallelen Geraden in der Euklidischen Ebene.
War dir das echt nicht klar? ;-)

10.10.2020, 12:55

Leopold

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Zitat:

Original von dsyleixa
du warst derjenige, der das geschrieben hat mit "0 im geometrischen Zentrum" von minus und plus-Unendlich.
Aber das wohl ein Witz, was auch heißt, dass es nicht stimmt und also falsch ist.

Über Witze zu sagen, daß sie stimmen oder nicht stimmen, ist die falsche Kategorie. Witze enthalten eine tiefere Wahrheit. Und hier kannst du meinen Witz sehen: 0 in der Mitte zwischen $\begin{align*} - \infty \end{align*}$ und $\begin{align*} \infty \end{align*}$ :

[attach]51997[/attach]

Zitat:

Original von dsyleixa
Auch das Beispiel mit der Schildkröte ist falsch oder missweisend, denn man kann eben Zeit nicht beliebig unendlich teilen - Zeit ist nunmal gequantelt, also darf man so nicht rechnen: die Herangehensweise an dieses Wettlaufproblem ist schon grundverkehrt.

Die Mathematik mit physikalischen Argumenten zu erklären, führt in die Irre. Die Welt der reellen Zahlen und die physikalische Welt sind nicht dasselbe, gewiß nicht. Da hilft es auch nichts, daß die Physik die reellen Zahlen zur Beschreibung ihrer Modelle benutzt. Zenons Paradoxon spielt daher auch nicht in der realen Welt. Sein Held Achill und seine Schildkröte sind gedankliche Individuen in Zenons Vorstellungswelt.

Zitat:

Original von dsyleixa
Ich verstehe diese Limes-Sache schon grundsätzlich, aber verstehe sie als "Redeweise" oder "Gedankenmodell" für Ziele, denen man eventuell näher kommt, wenn man immer weitermacht, aber sie nie erreicht; sie bleiben also "Vorstellungen" von einem Wert, aber man erreich diesen Wet nie, wenn man der Vorschrift folgt.

Es bleibt dabei:

$\begin{align*} 0{,}\overline{9} = 0{,}999 \ldots = 1 \end{align*}$

Akzeptiert man diese Gleichheit nicht, kann man auch keine Mathematik der reellen Zahlen betreiben.

10.10.2020, 12:56

dsyleixa

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Zitat:

Original von Elvis

Zitat:

Wenn du darauf bestehst, hast du nichts verstanden.

Nach meiner Vorstellung erreicht man den Sinus(x) per Taylorreihe durch schrittweises Aufsummieren erst in der Unendlichkeit, also faktisch NIE.

Aber wenn du es besser weißt, dann erkläre es mir besser, wann man den den Sinus(x) per Taylorreihe wirklich exakt erreicht, wenn man, der Rechenvorschrift folgend, Schritt für Schritt aufsummiert.

10.10.2020, 12:59

Elvis

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Wie kannst du dann behaupten, die Bahnschienen träfen sich nicht ? Alle euklidischen Geraden treffen sich im Punkt $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Du bringst da etwas durcheinander.
Machst du das absichtlich, oder haben dir deine Lehrer diesen Unsinn beigebracht ? Lass dir von Mathematikern helfen, die es besser wissen, sonst kannst du nicht einmal diese einfachen Grundlagen verstehen. Schau mal bei Tristan Needham rein, der weiß, wovon er redet, und er stellt es extra einfach geometrisch dar.

10.10.2020, 13:01

Leopold

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In Zenons Paradoxon erreicht Achill die Schildkröte auch nie. Und doch holt er sie ein.

Das ist genau dein Problem mit den unendlichen Reihen. Niemand behauptet, daß man beim Abbrechen der Reihe schon beim Grenzwert ist (Achill ist bei all den von Zenon genannten Punkten auch nicht bei der Schildkröte). Und doch erreicht die Reihe diesen Grenzwert (wie Achill die Schildkröte erreicht).

10.10.2020, 13:05

dsyleixa

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Es bleibt dabei:

$\begin{align*} 0{,}\overline{9} = 0{,}999 \ldots = 1 \end{align*}$

Akzeptiert man diese Gleichheit nicht, kann man auch keine Mathematik der reellen Zahlen betreiben.

Das Schildkröten-Paradoxon zeigt doch gerade, dass die initiale Vorstellung über das Rechnen mit immer kleiiner werdenden Zeitintervallen, die laufend immer weiter halbiert werden, falsch ist, außerdem ist sowieso fraglich, warum Zenon immer nur die Häfte des vorigen Wertes einsetzt und nicht einfach mal ein größeres Zeitintervall weiter, dann sieht er ja, dass Achill die Schildkröte tatsächlich letztendlich überholt hat und sie vorher folglich eingeholt haben muss. Das führt zu dem Schluss, dass man eben genau so nicht an die Sache heran gehen darf mit dieser Intervall-Teilerei, quasi liefert er hier seinen eigenen Widerspruchsbeweis.

Deine geometrische Konstruktion hilft hier aber auch nicht weiter, denn sie zeigt ebenfalls nicht, wo genau "die Unendlichkeit" ist, an der sich 2 parallele Geraden treffen. Mal sie doch mal auf, geh an ihnen entlang, und wenn du dort am Schnittpunkt bist, dann schick mal ein Foto Augenzwinkern

10.10.2020, 13:11

dsyleixa

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auch mit 0,9-Periode machst du einen Denkfehler:

der Querbalken ist nur die Symbolisierung der Idee, dass das mit den "Neunen" unendlich immer weiter ginge, es ist nichts anderes als die Schreibweise für eine Art Limes oder eine unendliche Summe (Reihe), bei der der Grenzwert "1" zunehmend approximiert, aber tatsächlich nie erreciht wird, indem man für n-> Unendlich immer 9/(10^n) dazuaddiert.

Insofern ist 0,9-Periode tatsächlich identisch mit dem Grenzwert, denn es ist ja genau der Grenzwert, den es meint, also 1, und daher nur eine andere, etwas verkomplizierte Schreibweise für "1".

10.10.2020, 13:23

Elvis

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Hier ist das Foto von den Geraden, die sich im Punkt $\begin{eqnarray*} N=\infty \end{eqnarray*}$ schneiden (copyright T.N. Seite 140). Das ist die Riemannsche Zahlenkugel $\begin{eqnarray*} \mathbb C\cup\infty \end{eqnarray*}$ .

10.10.2020, 13:25

dsyleixa

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Zitat:

Original von Elvis
Hier ist das Foto von den Geraden, die sich im Punkt $\begin{eqnarray*} N=\infty \end{eqnarray*}$ schneiden (copyright T.N. Seite 140). Das ist die Riemannsche Zahlenkugel $\begin{eqnarray*} \mathbb C\cup\infty \end{eqnarray*}$ .

sorry, das trifft nicht meine Vorgabe, denn ich rede von parallelen Geraden in der Euklidischen Ebene, und da kommen keine Kugeln vor.

10.10.2020, 13:28

Leopold

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Zitat:

Original von dsyleixa
Das Schildkröten-Paradoxon zeigt doch gerade, dass die initiale Vorstellung über das Rechnen mit unendlich kleinen Zeitintervallen, die immer weiter halbiert werden, falsch ist, außerdem ist sowieso fraglich, warum Zenon immer nur die Häfte des vorigen Wertes einsetzt und nicht einfach mal ein größeres Zeitintervall weiter, dann sieht er ja, dass Achill die Schildkröte tatsächlich letztendlich überholt hat und sie vorher folglich eingeholt haben muss. Das führt zu dem Schluss, dass man eben genau so nicht an die Sache heran gehen darf mit dieser Intervall-Teilerei, quasi liefert er hier seinen eigenen Widerspruchsbeweis.

An Zenons Überlegung ist gar nichts falsch. Zu den von Zenon genannten Zeitpunkten hat Achill die Schildkröte nicht eingeholt. Das sagt nicht nur Zenon, sondern das ist einfaches Nachrechnen. Man darf eben nur nicht folgern, daß Achill die Schildkröte niemals einholt. Und mit der unendlichen Reihe ist das genau so. Ich habe das oben bereits ausgeführt und brauche es nicht zu wiederholen.

Zitat:

Original von dsyleixa
auch mit 0,9-Periode machst du einen Denkfehler:

Danke, daß du mich darauf hinweist.

Zitat:

Original von dsyleixa
der Querbalken ist nur die Symbolisierung der Idee, dass das mit den "Neunen" unendlich immer weiter ginge, es ist nichts anderes als die Schreibweise für eine Art Limes oder eine unendliche Summe (Reihe), bei der der Grenzwert "1" zunehmend approximiert, aber tatsächlich nie erreciht wird, indem man für n-> Unendlich immer 9/(10^n) dazuaddiert.

Insofern ist 0,9-Periode tatsächlich identisch mit dem Grenzwert, denn es ist ja genau der Grenzwert, den es meint, also 1, und daher nur eine andere, etwas verkomplizierte Schreibweise für "1".

Ich stimme dir hier ausdrücklich zu. Welchen Denkfehler mache ich also?
Warum bist du nicht bereit, das, was du bei 0 Komma Periode 9 so freimütig einräumst, auch bei der Sinusfunktion und ihrer Taylorreihe zuzugestehen? Das ist dasselbe Phänomen.

10.10.2020, 13:41

dsyleixa

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Zenons Schildkröten Paradoxon ist kein echtes Paradoxon, es ist dummes Zeug, wo er was zusammengerechnet hat, was so aber nicht die Tatsachen trifft. Denn tatsächlich wird ja die Schildkröte eingeholt, mann muss nur die richtigen Zeitintervalle ausrechnen und nicht immer nur "zuwenig" an Zeit dazuaddieren.

bei der Folge 0,9 0,99 0,999 0,9999 usw handelt es sich um Zahlen, auch bei der 1 handelt es sich um eine Zahl.
Bei 0,9-Periode aber wird suggeriert, dass auch eine Zahl wäre, die aus lauter 9en hinter dem Komma besteht, ist sie aber nicht - es ist nur ein Gedankenexperiment.
Tatsächlich gibt es so eine Zahl nicht, genausowenig wie das Exakte Ergebnis für Sinus(x) aus der Taylorreihe, in beiden Fällen kommt man nur immer näher an das echte Ergebnis heran, ohne es aber je zu erreichen.

Beim Taylor ist der (nicht erreichte) Grenzwert die "echte" Sinus(x)-Zahl ,
bei 0,999... ist der (nicht erreichte) Grenzwert die "echte" 1, und dafür schreibt man wahlweise auch suggestiv 0,9-Periode.

(...und schon wieder nen typo gefunden....)

10.10.2020, 13:46

Elvis

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Ja, es ist auch nach der Aufklärung möglich, sich dumm zu stellen. Mach weiter so, wenn du nichts wissen willst. Freude

10.10.2020, 13:51

dsyleixa

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Zitat:

Original von Elvis
Ja, es ist auch nach der Aufklärung möglich, sich dumm zu stellen. Mach weiter so, wenn du nichts wissen willst. Freude

ich stelle mich nicht dumm, ganz im Gegenteil, ich kann nur nicht erkennen, dass "Unendlich" eine Zahl in einer Summenformel ist, die man jemals erreichen kann, genausowenig wie einen Schnittpunkt paralleler Geraden.

10.10.2020, 14:09

Elvis

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"Unendlich" ist keine Zahl in einer Summenformel. Summen sind immer endlich, Folgen und Reihen sind immer unendlich. Wenn eine Folge oder Reihe konvergiert, so hat sie einen eindeutig bestimmten Grenzwert, man nennt diesen Grenzwert den Wert der Folge oder Reihe. Da gibt es nichts zu erkennen, das ist so definiert, und es ist sinnvoll.
Wegen Geometrie konsultiere Tristan Needham, es dauert zu lange , das zu erklären. Aber auch auf diesem Gebiet musst du bereit sein, deine antiken Vorurteile aufzugeben, sonst lernst du nichts, nicht einmal das, was schon seit 150 Jahren zum mathematischen Grundwissen gehört.

10.10.2020, 14:16

dsyleixa

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Zitat:

Original von Elvis
"Unendlich" ist keine Zahl in einer Summenformel. Summen sind immer endlich, Folgen und Reihen sind immer unendlich. Wenn eine Folge oder Reihe konvergiert, so hat sie einen eindeutig bestimmten Grenzwert, man nennt diesen Grenzwert den Wert der Folge oder Reihe. Da gibt es nichts zu erkennen, das ist so definiert, und es ist sinnvoll.
Wegen Geometrie konsultiere Tristan Needham, es dauert zu lange , das zu erklären. Aber auch auf diesem Gebiet musst du bereit sein, deine antiken Vorurteile aufzugeben, sonst lernst du nichts, nicht einmal das, was schon seit 150 Jahren zum mathematischen Grundwissen gehört.

ich meinte selbstverständlich das "Unendlich" das oben über dem Sigma-Summenzeichen steht!
Das bedeutet:
"Addiere von (...) bis Unendlich".
Aber dieses "Unendlich" kann nie erreicht werden, folglich ist die Idee, das Ziel (den echten Wert) über die Summe zu erreichen, eine Fiktion.
Ntl gibt es aber diesen Wert, es ist bei der sin-Taylorreihe der "echte" sin(x)-Wert, nur ist der eben über die Taylor-Formel zwar "gemeint", aber nie wirklich exakt auszurechnen.

PS, edit: typos

10.10.2020, 14:32

dsyleixa

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Definieren kann man ntl andererseits was man will, und von daher,
wenn man einfach definiert:

Es gelten zwei Funktionen $\begin{align*} f,g \end{align*}$ als gleich, wenn sie denselben Definitions- und Zielbereich besitzen und für jedes $\begin{align*} x \end{align*}$ des Definitionsbereichs $\begin{align*} f(x) = g(x) \end{align*}$ gilt (Extensionalitätsprinzip).

- dann sei das eben so, auch wenn man es über unendliche Reihen nie exakt ausrechnen kann.

10.10.2020, 14:43

Elvis

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Du hast es noch nicht verstanden. Bei einer Folge oder Reihe wird nicht addiert, der Wert ist der Grenzwert. Fix und fertig, ohne Zeitaufwand, ohne Prozeß, ohne Probleme. Eine Zahl ist eine Zahl, eine Funktion ist eine Funktion. Eine Zahl wird nicht gemacht, eine Funktion wird nicht gemacht.

10.10.2020, 15:08

dsyleixa

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Zitat:

Original von Elvis
Du hast es noch nicht verstanden. Bei einer Folge oder Reihe wird nicht addiert, der Wert ist der Grenzwert. Fix und fertig, ohne Zeitaufwand, ohne Prozeß, ohne Probleme. Eine Zahl ist eine Zahl, eine Funktion ist eine Funktion. Eine Zahl wird nicht gemacht, eine Funktion wird nicht gemacht.

hmmmh...
wenn da wirklich nicht gerechnet würde, warum brauche ich das ganze Gedöns, das da beim Taylor hinter und über und unter dem Summenzeichen steht?
Wenn nicht gerechnet würde, dann könnte ich doch einfach schreiben:
sin(x) := foo(x), und das isses jetzt, fix und fertig, und foo(x) ist genau das Ergebnis von sin(x), ohne Zeitaufwand, ohne Prozeß, ohne Probleme.

Aber das ist doch Unsinn:
Tatsächlich beschreibt die Taylorreihe ja doch einen (schrittweise additiven) Rechenweg, der (zunehmend genauer) einen Zielwert approximiert, und mit der Zeit kann man dann langsam erahnen, worauf die ganze Chose hinauslaufen könnte...

10.10.2020, 15:47

Elvis

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Oh, heilige Einfalt... Eine Taylorreihe ist eine Reihendarstellung einer Funktion. Niemand erwartet, daß jemand unendlich lange rechnet, es gibt bestimmt noch viele andere Möglichkeiten, sein Leben sinnvoll zu gestalten.

10.10.2020, 15:53

dsyleixa

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Zitat:

Original von Elvis
Oh, heilige Einfalt... Eine Taylorreihe ist eine Reihendarstellung einer Funktion. Niemand erwartet, daß jemand unendlich lange rechnet, es gibt bestimmt noch viele andere Möglichkeiten, sein Leben sinnvoll zu gestalten.

haha,
wie gesagt:
wenn die Taylorreihe nicht dazu dient, zu rechnen, dann könnte ich mir doch gleich auch die ganze Formel-Schreiberei von ihr sparen, und von allen anderen Reihen, die so herumgeistern, ebenfalls! :-P

10.10.2020, 16:38

Leopold

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Natürlich kann die Reihe auch zum Rechnen verwendet werden.

$\begin{align*} \sin \left( \frac{1}{2} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2^{2n+1} (2n+1)!} \end{align*}$

So genau, wie man es haben will, kann man jetzt den Sinuswert errechnen, indem man bei einem geeigneten Glied abbricht:

$\begin{align*} \sin \left( \frac{1}{2} \right) \approx \frac{1}{2} - \frac{1}{48} + \frac{1}{3840} - \frac{1}{645120} = \frac{309287}{645120} \approx 0{,}47943 \end{align*}$

Und wo $\begin{align*} = \end{align*}$ steht, gehört $\begin{align*} = \end{align*}$ hin, wo $\begin{align*} \approx \end{align*}$ steht, gehört $\begin{align*} \approx \end{align*}$ hin.

10.10.2020, 18:22

Elvis

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Man kann mit den Potenzreihen auch eben mal schnell ausrechnen $\begin{eqnarray*} e^{iz}=exp(iz)=cos(z)+i\cdot sin(z), cos(z)=\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2},sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \end{eqnarray*}$ . Dabei ist an keiner Stelle eine unendliche Addition im Spiel. Warum und wieso und wie lernt man z.B. hier: http://www.math.uni-leipzig.de/UAA/f/SS12XX79322.pdf

10.10.2020, 19:24

Elvis

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Zitat:

Original von dsyleixa

Zitat:

sorry, das trifft nicht meine Vorgabe, denn ich rede von parallelen Geraden in der Euklidischen Ebene, und da kommen keine Kugeln vor.

Siehst du nicht die komplexe Äquatorebene ? Du musst nicht immer nur rummmeckern, du musst auch mal die Augen aufmachen.

10.10.2020, 19:31

dsyleixa

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Zitat:

Original von Elvis

Zitat:

Original von dsyleixa

Zitat:

sorry, das trifft nicht meine Vorgabe, denn ich rede von parallelen Geraden in der Euklidischen Ebene, und da kommen keine Kugeln vor.

Siehst du nicht die komplexe Äquatorebene ? Du musst nicht immer nur rummmeckern, du musst auch mal die Augen aufmachen.

wenn ich 2 parallele Geraden in der Ebene zeichne, dann gibt es da keine "komplexe Äquatorebene".
Ich hätte dort keine Kugel, auch keine vom Herrn Riemann, und folglich auch nichts, wo dann so ein Äquator herkommen könnte.

10.10.2020, 19:50

dsyleixa

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Zitat:

Original von Elvis
Man kann mit den Potenzreihen auch eben mal schnell ausrechnen $\begin{eqnarray*} e^{iz}=exp(iz)=cos(z)+i\cdot sin(z), cos(z)=\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2},sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \end{eqnarray*}$ . Dabei ist an keiner Stelle eine unendliche Addition im Spiel. Warum und wieso und wie lernt man z.B. hier: http://www.math.uni-leipzig.de/UAA/f/SS12XX79322.pdf

Die rechnen dort im pdf aber auch ganz schön mächtig mit Limes und unendlichen Reihen, das sieht dort nicht soviel anders aus als bei den Reihen, die wir hier schon besprochen haben.
Wenn man dann allerdings in
$\begin{eqnarray*} e^{iz}=exp(iz)=cos(z)+i\cdot sin(z) \end{eqnarray*}$ diese Werte wieder einsetzt $\begin{eqnarray*} cos(z)=\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2},sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \end{eqnarray*}$ , dann kommt wieder $\begin{eqnarray*} exp(iz) \end{eqnarray*}$ heraus, weil sich i herauskürzt und sich $\begin{eqnarray*} +exp(-iz) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -exp(-iz) \end{eqnarray*}$ aufheben, das ist klar.

Ich finde es allerdings auch immer wieder etwas verblüffend, dass Leute einfach hergehen und die Gelegenheit nutzen, zwischendurch etwas so Entscheidendes und Elementares wie Pi eben mal quasi "en-passant" neu zu definieren, wo doch gerade Pi schon 1000e Jahre länger existieren dürfte als gerade dieser Artikel und eher aus dem Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises bekannt und so auch bereits längst hergeleitet sein dürfte :

Zitat:
Die Zahl 2Xi , wobei Xi die Nullstelle der Kosinusfunktion in ]0,2[aus dem letzten Satz ist, heißt Pi

Richtiger fände ich, wenn man formuliert hätte:
Die Zahl 2Xi , wobei Xi die Nullstelle der Kosinusfunktion in ]0,2[aus dem letzten Satz ist, ist identisch mit Pi (was dann aber noch zu zeigen wäre).

10.10.2020, 19:57

dsyleixa

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Zitat:

Original von Leopold
Natürlich kann die Reihe auch zum Rechnen verwendet werden.

$\begin{align*} \sin \left( \frac{1}{2} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2^{2n+1} (2n+1)!} \end{align*}$

So genau, wie man es haben will, kann man jetzt den Sinuswert errechnen, indem man bei einem geeigneten Glied abbricht:

$\begin{align*} \sin \left( \frac{1}{2} \right) \approx \frac{1}{2} - \frac{1}{48} + \frac{1}{3840} - \frac{1}{645120} = \frac{309287}{645120} \approx 0{,}47943 \end{align*}$

Und wo $\begin{align*} = \end{align*}$ steht, gehört $\begin{align*} = \end{align*}$ hin, wo $\begin{align*} \approx \end{align*}$ steht, gehört $\begin{align*} \approx \end{align*}$ hin.

ja, genau, danke, und die unendlichste Stelle erreicht man faktisch nie, daher wird es immer "sehr lange" $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ bleiben, vor allem zum Ende hin ;-)

10.10.2020, 20:06

Finn_

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Dass bei einer Folge wie $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_n := \sum_{k=1}^n \frac{9}{10^k} \end{eqnarray*}$ der Grenzwert nie rechnerisch erreicht wird, ist ja richtig.

Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} L=\lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ besitzt allerdings auch eine andere Bedeutung. Sie sagt aus folgendes aus: Der Abstand $\begin{eqnarray*} |a_n-L| \end{eqnarray*}$ wird irgendwann jede noch so kleine positive Zahl endgültig unterschreiten. Das kann schon vorher mehrmals passiert sein, aber dieses Mal wird der Abstand nie wieder aus dieser Unterschreitung hinausgelangen.

Angenommen, wir haben zwei konvergente Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ mit Grenzwerten $\begin{eqnarray*} A = \lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = \lim_{n\to\infty} b_n \end{eqnarray*}$ . Außerdem sei angenommen, wir könnten $\begin{eqnarray*} 0 = \lim_{n\to\infty} (a_n-b_n) \end{eqnarray*}$ zeigen.

Würdest du $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ glauben? Wenn nicht, was spräche dagegen?

10.10.2020, 20:13

Leopold

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@ dsyleixa

Das stimmt so nicht. Was du dich weigerst zu begreifen, ist, daß es sich bei der Reihe um einen Grenzwert handelt, und dieser Grenzwert wird als $\begin{align*} \sin(x) \end{align*}$ bezeichnet:

$\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sin(x) \end{align*}$

Und das ist kein bißchen anders als bei $\begin{align*} 0{,}\overline{9} = 1 \end{align*}$ , auch das bedeutet ausführlich

$\begin{align*} 0{,}\overline{9} = 0{,}999 \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} 9 \cdot 10^{-n} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N 9 \cdot 10^{-n} = 1 \end{align*}$

Auch hier gilt natürlich $\begin{align*} 0{,}99999 \approx 1 \end{align*}$ und nicht $\begin{align*} = 1 \end{align*}$ , erst im Grenzwert ergibt sich 1, also $\begin{align*} 0{,}\overline{9} = 1 \end{align*}$ .

Und hier ist es eben

$\begin{align*} \sum_{n=0}^5 (-1)^n \frac{\pi^{2n+1}}{(2n+1)!} = -0{,}000445 \ldots \approx 0 \end{align*}$

dagegen:

$\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{\pi^{2n+1}}{(2n+1)!} = 0 \end{align*}$

Im einen Fall, dem mit der Periode 9, erklärst du mir breit und auch richtig, was du wähnst, ich hätte es nicht verstanden, obwohl ich da mit dir völlig übereinstimme. Im andern Fall, dem Sinus-Fall, dagegen blockierst du, obwohl es sich um dasselbe Phänomen handelt.

10.10.2020, 23:35

dsyleixa

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Zitat:

Original von Finn_
Dass bei einer Folge wie $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_n := \sum_{k=1}^n \frac{9}{10^k} \end{eqnarray*}$ der Grenzwert nie rechnerisch erreicht wird, ist ja richtig.

Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} L=\lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ besitzt allerdings auch eine andere Bedeutung. Sie sagt aus folgendes aus: Der Abstand $\begin{eqnarray*} |a_n-L| \end{eqnarray*}$ wird irgendwann jede noch so kleine positive Zahl endgültig unterschreiten. Das kann schon vorher mehrmals passiert sein, aber dieses Mal wird der Abstand nie wieder aus dieser Unterschreitung hinausgelangen.

Angenommen, wir haben zwei konvergente Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ mit Grenzwerten $\begin{eqnarray*} A = \lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = \lim_{n\to\infty} b_n \end{eqnarray*}$ . Außerdem sei angenommen, wir könnten $\begin{eqnarray*} 0 = \lim_{n\to\infty} (a_n-b_n) \end{eqnarray*}$ zeigen.

Würdest du $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ glauben? Wenn nicht, was spräche dagegen?

das verstehe ich, ist das nicht so etwas wie das Cauchy-Kriterium?
Dennoch heißt es ja nur, dass man beliebig nah heran kommt, aber nicht, dass man es wirklich erreicht ;-)

10.10.2020, 23:40

dsyleixa

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Zitat:

Original von Leopold
@ dsyleixa

Das stimmt so nicht. Was du dich weigerst zu begreifen, ist, daß es sich bei der Reihe um einen Grenzwert handelt, und dieser Grenzwert wird als $\begin{align*} \sin(x) \end{align*}$ bezeichnet:

$\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sin(x) \end{align*}$

Und das ist kein bißchen anders als bei $\begin{align*} 0{,}\overline{9} = 1 \end{align*}$ , auch das bedeutet ausführlich

$\begin{align*} 0{,}\overline{9} = 0{,}999 \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} 9 \cdot 10^{-n} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N 9 \cdot 10^{-n} = 1 \end{align*}$

Auch hier gilt natürlich $\begin{align*} 0{,}99999 \approx 1 \end{align*}$ und nicht $\begin{align*} = 1 \end{align*}$ , erst im Grenzwert ergibt sich 1, also $\begin{align*} 0{,}\overline{9} = 1 \end{align*}$ .

Und hier ist es eben

$\begin{align*} \sum_{n=0}^5 (-1)^n \frac{\pi^{2n+1}}{(2n+1)!} = -0{,}000445 \ldots \approx 0 \end{align*}$

dagegen:

$\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{\pi^{2n+1}}{(2n+1)!} = 0 \end{align*}$

Im einen Fall, dem mit der Periode 9, erklärst du mir breit und auch richtig, was du wähnst, ich hätte es nicht verstanden, obwohl ich da mit dir völlig übereinstimme. Im andern Fall, dem Sinus-Fall, dagegen blockierst du, obwohl es sich um dasselbe Phänomen handelt.

auch hier verstehe ich, dass man mit den Folgen oder Reihen beliebig nah an einen Grenzwert herankommt, dennoch wird man ihn nie erreichen, denn man erreicht niemals den Zustand, dass das "n" das "Unendlich" erreicht, sondern nur, dass es immer größer wird, eben beliebig groß, aber immer noch "nur" endlich groß.
Aber nicht = Unendlich.
Folglich fehlt "zum Ende hin" immer noch ein winziges Stück...
Also bleibt es immer "ungefähr", und wird nie "gleich", so weit und so sehr man das "n" auch immer vergrößern und das "n" weiterzählen möge...;-)

PS,
und das gilt für die "letzten Stellen" der 0,999999999999999999 vor der Unendlichkeit genau wie auch für die letzten Stellen der sin-Taylorreihe vor der Unendlichkeit.

10.10.2020, 23:46

dsyleixa

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- gelöscht -

11.10.2020, 07:44

Elvis

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Mit mittelalterlichen Denkweisen, behindert durch antike Philosophie und kindlichen Starrsinn, kann man moderne Mathematik nicht verstehen. Wenn du etwas lernen und verstehen möchtest, musst du dein Denken verändern. Wenn du nichts Neues verstehen willst, darfst du beliebig lange alte Fehler wiederholen - es wird aber schnell langweilig und interessiert niemanden.

11.10.2020, 09:48

dsyleixa

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- gelöscht -

11.10.2020, 09:51

dsyleixa

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Zitat:

Original von Elvis
Mit mittelalterlichen Denkweisen, behindert durch antike Philosophie und kindlichen Starrsinn, kann man moderne Mathematik nicht verstehen. Wenn du etwas lernen und verstehen möchtest, musst du dein Denken verändern. Wenn du nichts Neues verstehen willst, darfst du beliebig lange alte Fehler wiederholen - es wird aber schnell langweilig und interessiert niemanden.

Ich verstehe schon, was gemeint ist, ich habe ja auch die Sache mit der Teilung der Reihe aus Post #4 verstanden, wodurch dann aus einer e-Funktionenreihe eine Summe aus einer Cosinusreihe und einer Sinusreihe wird.
Ich sehe es eher als linguistisches oder semantisches Problem, denn man tut so, als gäbe es die Unendlichkeit, für die das Unendlichkeitssymbol steht, tatsächlich, was aber nicht der Fall ist, denn es ist ja nur eine gedankliche Abstraktion: Es steht eigentlich für "beliebig groß" (denn "unendlich groß" gibt es nicht), und daher wird dann auch das Gleichheitszeichen zu "beliebig genau" bzw "genau bis auf einen winzigen, beliebig kleinen Fehler".
Aber weil die Mathematik trotzdem nunmal so tut, als gäbe es diesen Unterschied nicht, und letztlich mit "Unendlich" und "Gleich" rechnet, als wäre es doch eine Zahl, darum heißt es ja letztendlich auch Infinitesimalrechnung.

11.10.2020, 10:06

Dopap

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das "Problem" kennt man z.B. auch von Achilles und der Schildkröte.
Angeblich kann er die Schildkröte nicht erreichen oder gar überholen, weil die Schildkröte immer wieder einen kleinen Vorsprung herausarbeitet.
Eines der vielen "Paradoxien". Wenn das Modell an der Wirklichkeit scheitert ist es Zeit an dem Modell zu arbeiten und nicht ...

11.10.2020, 10:25

dsyleixa

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Zitat:

Original von Dopap
das "Problem" kennt man z.B. auch von Achilles und der Schildkröte.
Angeblich kann er die Schildkröte nicht erreichen oder gar überholen, weil die Schildkröte immer wieder einen kleinen Vorsprung herausarbeitet.
Eines der vielen "Paradoxien". Wenn das Modell an der Wirklichkeit scheitert ist es Zeit an dem Modell zu arbeiten und nicht ...

ja, dieses sog. "Paradoxon" fiel mir auch dazu ein.
In gewisser Weise entsprechen sich ja die Vorstellungen von Achill, der die Schildkröte nach und nach einholt, ohne sie zu erreichen, dem Bild von einer konvergenten Funktion wie y=1/n, für n->Unendlich, und das bestreite ich auch nicht, ganz im Gegenteil.
Der Grund, warum die Wirklichkeit hier anders ist als das gedankliche Wettlauf-Modell, ist aber, dass das gedankliche Modell nicht auf die Wirklichkeit passt:
Zenon hat nämlich Zeitsegmente in immer kleinere Teile und letztlich "unendlich kleine" Teile geteilt und dann aneinandergehängt, und tatsächlich, wenn man so etwas tut, erreicht die Zeitreihe nicht den Grenzwert.
Tatsächlich ist aber die Zeit nicht beliebig teilbar, sondern sie ist gequantelt, und wenn es die Teilstückchen, die Schildkröte und Achill laufen, so winzig sind, dass dieser Zeitquant (oder meinetwegen auch der korrespondierende Raumquant oder meinetwegen auch Raumzeitquant) erreicht ist, und man ihn zu seiner Rechnung hinzufügt, dann wird er im nächsten Schritt nicht mehr kleiner, sondern bleibt gleich groß, und (bildlich gesprochen !) wenn dann wieder etwas addiert wird bzw. die Zeit entsprechend weiter verstreicht, wird nicht etwas kleineres, sondern etwas gleich großes hinzugefügt, und schon ist die Zeit verstrichen und Achill hat die Schildkröte erreicht oder gar überholt.

Ich schrieb ja auch schon einmal weiter oben:
Zenons Gedankenexperiment ist in meinen Augen eigentlich kein Paradoxon, sondern ein Widerspruchsbeweis.
Beh.: die Zeit ist gequantelt.
Bew.: sei gegeben, dass die Zeit nicht gequantelt ist
=> Zeit ist beliebig teilbar.
.... jetzt kommt die Rechnung mit dem Wettlauf und der Zeitreihe...
=> Achill erreicht die Schildkröte nicht => Widerspruch!
Folglich ist die Vorr. falsch,
=> Zeit ist gequantelt.

(Aber es gibt sicher noch andere Vorbehalte, warum Zenons Gedankenmodell nicht die Realität trifft)

8-)

11.10.2020, 11:59

Elvis

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Niemand weiß, ob Zeit und Raum oder Raumzeit kontinuierlich oder gequantelt sind. In der Schrödingergleichung und in den meisten Quantentheorien ist die Zeit kontinuierlich. Für den Raum scheint es eher egal zu sein.

Deine Behauptungen sind - bewußt oder unbewußt - falsch. Wie Dopap schon sagte, musst du an deinen Modellen arbeiten, um die Wirklichkeit zu verstehen. Nach meiner Meinung musst du an deinem Denken arbeiten, um die Wirklichkeit und die zugehörige Mathematik zu verstehen.

Unendlich ist in der Mathematik keine Zahl. Bei Riemann zum Beispiel ist es der Punkt, der die komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ kompaktifiziert. Das Kontinuum $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ kann man z.B.auch durch $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ abschließen, beides Punkte, keine reellen Zahlen.

Was du dazu sagst ist falsch und irreführend. Du musst noch sehr viel lernen, bevor du mitreden kannst.

11.10.2020, 12:58

dsyleixa

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Zitat:

Original von Elvis
Niemand weiß, ob Zeit und Raum oder Raumzeit kontinuierlich oder gequantelt sind. In der Schrödingergleichung und in den meisten Quantentheorien ist die Zeit kontinuierlich. Für den Raum scheint es eher egal zu sein.

Deine Behauptungen sind - bewußt oder unbewußt - falsch. Wie Dopap schon sagte, musst du an deinen Modellen arbeiten, um die Wirklichkeit zu verstehen. Nach meiner Meinung musst du an deinem Denken arbeiten, um die Wirklichkeit und die zugehörige Mathematik zu verstehen.

Unendlich ist in der Mathematik keine Zahl. Bei Riemann zum Beispiel ist es der Punkt, der die komplexen Zahlen kompaktifiziert. Was du dazu sagst, ist falsch und irreführend. Du musst noch sehr viel lernen, bevor du mitreden kannst.

ich denke eher, was du schreibst ist irreführend, suggestiv und falsch.
Wenn man eine konvergierende, unendliche Reihe hat und von 0 bis "Unendlich" aufsummieren soll, dann wird so getan, als ob man dieses "Unendlich" jemals erreichen kann (als wäre es eine Zahl). Wenn es aber keine Zahl ist, dann kann die Reihe ihr Endergebnis niemals exakt erreichen, sondern es bleibt immer ein beliebig kleiner Rest-Fehler, solange man auch weiterrechnet.

11.10.2020, 13:04

Elvis

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Eine Reihe soll man nicht aufsummieren, das ist ein gravierender Denkfehler, den du ziemlich stupide wiederholst.
Es ist immer wieder erstaunlich, was es alles gibt: https://de.wikipedia.org/wiki/Dunning-Kruger-Effekt (Habe ich dem "Spiegel" vom 10.10.2020 einem Artikel über Trump entnommen.)

11.10.2020, 13:53

dsyleixa

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bitte mal eine Antwort von anderen examinierten Mathematikern hier zu einer Quelle für die Behauptung, bei Reihen würde nicht aufsummiert werden.

Eine konvergierende Reihe wie

$\begin{eqnarray*} S=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots \end{eqnarray*}$

steht für den Grenzwert der Folge

$\begin{eqnarray*} 1,\ {\frac {3}{2}},\ {\frac {7}{4}},\ {\frac {15}{8}},\ \dotsc \end{eqnarray*}$
(Beispiel entnommen aus https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik))

Man erhält diese Folge, indem man die Summe schrittweise ausrechnet, und nur so kommt man letztendlich dem Grenzwert näher, und zwar zunehmend genauer.

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