Umgangston! Komplexe Zahlen per e-Funktion

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dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen per e-Funktion
hallo,
gibt es eine Möglichkeit, die e-Funktion direkt auszurechnen
,
oder geht es nur über die Umformung über die trigonometrischen Funktionen (also per ) ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es gibt sowohl andere exakte Darstellungen als auch Formeln und Verfahren zur approximativen Berechnung.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

welche genau, um es direkt auszurechnen?
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen per e-Funktion
oder, die Frage anders gestellt:
wie kann man beweisen, dass die Exponentialfunktion mit imaginärem Exponenten
,
identisch ist mit der Summe der trigonometrischen Funktionen
) ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion lautet



Weil diese Reihe absolut konvergent ist, darf man die Reihe beliebig umordnen und daher rechnen





Dieser Beweis sollte in den meisten Analysisbüchern stehen. Siehe auch
Proofwiki: Euler's Formula
Proofwiki: Equivalence of Definitions of Complex Exponential Function

Zur alternativen approximativen Berechnung (die man aufgrund von Eulers Formel nicht braucht) ist die Formel



günstig, wobei recht groß gewählt wird, und zwar so dass sich die Potenz zum Exponent durch iteratives Quadrieren berechnen lässt.
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch ein alternativer Beweis.

Betrachte die Funktion f: R -> C mit f(x) = cos(x) + i*sin(x). Dann gilt offenbar:

1. f(0) = 1

2. f'(x) = -sin(x) + i*cos(x) = i*f(x)

Die Lösung dieser Diff'gleichung ist bekanntlich die e-Funktion. Es gilt also: f(x) = e^(ix).

Viele Grüße,
Nils
 
 
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank!
@Finn: die Idee über Potenzreihenentwicklungen habe ich verstanden (wenn auch nicht nachgerechnet), und wenn man so durch Umordnen auf cos und sin kommt, dann ist das klar.
In Analysis-Schulbüchern für die Oberstufe habe ich das allerdings - zugegebenermaßen - bisher noch nicht so gefunden.

@Nils: was das Problem allerdings mit Ableitungen zu tun hat, habe ich nicht verstanden, und auch dass eine Lösung einer speziellen Diff'gleichung "bekanntlich" die e-Funktion ist, ist mir auch nicht bekannt (und abgesehen davon der Rückschluss auf die Stammfunktion auch nicht) Augenzwinkern

Kann man sonst "irgendwie" zeigen, dass e-Funktion uns sin/cos irgendwas miteinander zu tun haben, durch "direkte" Umrechnungen, ohne Reihenentwicklungen?

Abgesehen davon würde mich übrigens auch eine Darstellung interessieren, die "irgendwie" anschaulich die e-Funktion auf euklidische trigonometrische Konstruktionen im R² zurückführt, so wie man es mit Katheten und Hypothenuse auch für sin und cos tun kann...
(Bislang waren e-Funktion und trigon. Funktionen komplett verschiedene Welten)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt ein sehr gutes Buch auf deutsch "Anschauliche Funktionentheorie", im Original "Visual Complex Analysis" von Tristan Needham, Department of Mathematics, University of San Francisco. (Unter anderem dem diesjährigen Nobelpreisträger für Physik, dem großartigen Mathematiker und Physiker Roger Penrose, gewidmet.)
Auf den Seiten 10 bis 14 findest du das kleine Kapitel "Euler's Formula". Damit du nicht viel Geld ausgeben musst, ist hier ein pdf verlinkt: https://umv.science.upjs.sk/hutnik/NeedhamVCA.pdf
Schau mal rein, es lohnt sich. Needham weist darauf hin, dass man heute, ausgestattet mit den modernen Potenzreihen für die Exponentialfunktion, die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion Eulers grandiose Leistung für eine simple Tatsache halten kann, was sie aber sicher nicht ist. Deine Frage verdient größten Respekt (!), und bei Needham bekommst du Antworten.
Wenn du die Antworten nicht sofort verstehst, dann lies die paar Seiten davor, vielleicht erschließt sich dir dann, worum es geht. Wenn dein Englisch noch nicht gut genug ist, besorge dir die deutsche Ausgabe, ein Mathebuch fürs Leben, an dem du lange Freude haben wirst. (Ich lese das Buch lieber auf deutsch, der Inhalt ist identisch mit der englischen Version.)
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

@Nils: was das Problem allerdings mit Ableitungen zu tun hat, habe ich nicht verstanden, und auch dass eine Lösung einer speziellen Diff'gleichung "bekanntlich" die e-Funktion ist, ist mir auch nicht bekannt


Ok, dann vielleicht nochmal mit anderen Worten: Die obige Ansatz nutzt aus, dass die Funktion f(x) = e^(k*x) ganz allgemein die Differentialgelichung f'(x) = k*f(x) mit der Anfangsbedingung f(0) = 1 löst. Sollte das nicht bekannt sein, so kann man das durch einfaches Nachrechnen auch leicht selbst überprüfen.

Die Funktion f(x) = cos(x) + i*sin(x) erfüllt genau die Bedingungen; nur ist hier speziell k = i. Es gilt also f(x) = e^(i*x).

Viele Grüße,
Nils
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

dankeschön, werde ich auf jeden Fall tun!
Jetzt habe ich hier allerdings 2 verschiedene angefangene Bücher über Quantenmechanik, durch die ich mich hindurchwühle, und ich muss schwer aufpassen, dass ich da nicht den Faden verliere wegen all der Mathe-Fragen, die da allein schon so " nur nebenher mal" aufgeworfen werden.... 8-)
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

@Nils:
die Tatsache, dass irgendwelche Anfangsbedingungen von beiden in gleicher Weise erfüllt werde, und dass dann auch noch unmotivierte Ableitungen aus dem Äther sublimieren, klärt leider für mich nicht meine Eingangsfrage - ich sehe schlicht absolut keinen Zusammenhang.

Viellecht könntest du es mal mit nahezu quantengleichen Logik-Minimalschrittchen versuchen, wodurch die Zusammenhänge mit meiner Frage klar hervorteten und auch logisch verständlich wird? ;-)
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu müsste ich erstmal wissen, welchen Schritt du nicht verstanden hast. Kennst du überhaupt Differentialgleichungen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@Nils: Er ist Schüler, da kommen weder Differentislgleichungen, noch Potenzreihen vor.
Mir fällt allerdings auch kein Weg ein, wie man die Darstellungen Schülern näher bringen kann.
Vielleicht wäre es das beste es erst einmal als Definition hinzunehmen und die Sinnhaftigkeit im Studium kennen zu lernen.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Eine anschauliche Herleitung hat Jörn Loviscach hier vorgetragen:

18.02.1 Eulersche Identität e^(ix)=cos(x)+isin(x)

18.02.2 weiter Eulersche Identität
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@dsyleixa
Ohne aktive Kenntnisse der Funktionentheorie kann man m.E. keine wesentlichen Fortschritte in der Quantentheorie machen. Beachte die Hierarchie Quantenmechanik < Quantenelektrodynamik < Quantenchromodynamik < Quantenfeldtheorie (QM. QED. QCD. QFT). All das ist angewandte Mathematik, speziell angewandte Theorie der komplexen Zahlen und komplexen Funktionen.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

nein, ich kenne keine Differentialgleichungen, und ich verstehe auch nicht, was an
1. f(0) = 1
2. f'(x) = -sin(x) + i*cos(x) = i*f(x)

der Beweis sein soll für e^(i*Theta) = cos(Theta)+i*sin(Theta)
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

erkläre es mal so, dass ein Schüler aus der Mittelstufe versteht.
Was eine Ableitung ist, verstehe ich immerhin, es hat etwas mit der Steigung in einem Punkt des Graphen zu tun. ;-)
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

@Helferlein
es einfach so zu definieren, wäre ein billiger Taschenspielertrick, ich will es ja hergeleitet sehen, und ich würde sonst nur die Eier finden, die ich selber versteckt habe ;-)

Immerhin war das mit den Potenzreihen oben schon ganz nett, weil beide Funktionen anscheinend auf dieselben Werte hin konvergieren.

Was jetzt fehlt, ist die Umformung e-Funktion -> Summe der beiden trigon, Funktionen.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

das Video
https://www.youtube.com/watch?v=dHIshFK7INM
ist ganz nett, aber da bleiben zuviele ungenauigkeiten und "suggestive Annahmen".
- wenn der Winkel Phi ist und der kleine Teilwinkel phi/n, wieso muss ich dann "potenzieren"? Ich würde sagen: man muss mit n multiplizieren!
- wenn ich den Teilwinkel habe phi/n, wieso ist dann die Höhe etwa i*phi/n ?
ich würde sagen: die Höhe ist die Gegenkathete, und mit
Gegenkathete/1=sin(phi/n) ist die Höhe Gegenkathete= 1*sin(phi/n)

da bin ich dann ausgestiegen.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Na wenn du eine komplexe Zahl hast, kannst du sie interpretieren als eine Drehung in der Ebene um den Winkel . Das geht so: Nehmen wir einen Koordinatenvektor und betrachten diesen als komplexe Zahl . Nun ist betrachtbar als eine (lineare) Abbildung, die um den Winekl dreht, denn wird das gleiche Ergebnis haben wie mit der Drehmatrix



Demnach ist sozusagen mit der Drehmatrix gleichbedeutend. Nun zerteilen wir den Winkel in Teile, bspw. . Dann muss doch gelten



d.h. die beiden Teildrehungen müssen hintereinander ausgeführt werden. (Die Reihenfolge ist egal, weil beide Drehungen die selbe Drehachse haben. In der Quantenmechanik würde man sagen, die Operatoren kommutieren.)

Für eine Zerlegung von in gleich große Winkel gilt entsprechend



Die Drehung um den sehr kleinen Winkel , d.h. die komplexe Zahl mit Betrag 1 und Phase , ist, wie erläutert wurde, approximierbar durch die komplexe Zahl , und das wird umso besser je größer ist. Wir erhalten



Dies ist aber die Definition von .
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Höhe ist die Gegenkathete, das ist richtig. Aber wenn ein Winkel sehr klein ist, ist die Gegenkathete approximierbar durch selbst. Vergleiche dazu einfach die Graphen der Funktionen und .

Entsprechend ist die Ankathete approximierbar duch 1. Vergleiche dazu die Graphen der Funktionen und .

Das Zusammenspiel dieser Überlegungen bedeutet

dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

@Finn
danke, das war wieder sehr gut erklärt mit der Drehmatrix (wobei ich da auch noch nicht alle Einzelschritte wirklich komplett verstehe), allerdings ist das mit der Drehung ja wieder nur eine Annäherung über unendliche Summen oder Produkte, wie im Beispiel ganz oben von dir mit der Potenzreihenentwicklung, die auch in beiden Fällen auf die gleiche Zahl "konvergieren".
Damit sind nach meinem Verständnis die e-Funktion und die Summe aus sin und cos zwar "ähnlich", aber nicht "identisch".
Wie bei der Taylorformel für reelle Funktionen: Sie approximiert zwar eine reelle Funktion irgendwie, aber sie IST NICHT die reelle Funktion.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Potenzreihen, z.B. Taylorreihen, kann man nur verstehen, wenn man akzeptiert, dass sie Funktionen darstellen. Wenn man die Potenzreihen abbricht, bekommt man Partialsummen (d.h. Teilsummen) und eventuell Abschätzungen von Restgliedern, und diese Partialsummen sind nur Näherungen für die Potenzreihen bzw. Funktionen.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis:
ja, Reihen etc. approximieren zwar etwas, aber sie SIND es nicht (z.B. die Taylorreihe für die Sinusfunktion IST NICHT der Sinus).
Von daher sehe ich bislang nur eine ÄHNLICHKEIT, dass also e^ix per Reihenentwicklungen approximiert wird durch cos(x) + i*sin(x), weil auch deren Reihenentwicklungen "irgendwann" auf gleiche Zahlen konvergieren, aber eine echte IDENTITÄT zwischen ihnen erkenne ich dadurch nicht.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

bislang sehe ich also nur ein

aber kein
=

(edit: wirklich BESCHEUERT , das der Editor hier keinen Unicode akzeptiert!!! unglücklich )
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dsyleixa
ja, Reihen etc. approximieren zwar etwas, aber sie SIND es nicht (z.B. die Taylorreihe für die Sinusfunktion IST NICHT der Sinus).


Das ist falsch.

Denn allgemein gelten zwei Funktionen als gleich, wenn sie denselben Definitions- und Zielbereich besitzen und für jedes des Definitionsbereichs gilt (Extensionalitätsprinzip).

Insofern ist



Und hier steht tatsächlich und nicht .
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

ahaa....?
ok, danke, das ist jetzt neu für mich.
Denn das "Unendlich" erreicht man ja nie (deshalb ist es ja unendich, zwar zunehmend genauer, aber trotzdem unerreichbar).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Unendlich erreicht man nie mit endlichen Summen, aber die unendliche Reihe ist keine endliche Summe. Eine konvergente unendliche Reihe ist der Grenzwert dieser Reihe. Man darf nicht im Endlichen aufhören, sonst kommt man nie zum Unendlichen.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Unendlich erreicht man nie mit endlichen Summen, aber die unendliche Summe ist keine endliche Summe.

eben. daher bleibt es immer "ungefähr", aber niemals "exakt gleich", die Taylorreihe ist bis in alle Unendlichket nur eine Approximierung.
Wie W. Allen schon sagte:
Die Ewigkeit dauert ziemlich lang, besonders zum Ende hin. Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist falsch, die Taylorreihe ist keine endliche Summe sondern eine unendliche Reihe.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Das ist falsch, die Taylorreihe ist keine endliche Summe sondern eine unendliche Reihe.

für mich sieht es wie ein Summenzeichen aus, was da steht, also eine unendliche Summe, deren Ende man aber nie erreicht Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das erreicht man schon. Es ist ein symbolisches Zeichen für den Grenzwert, dem die Partialsummen zustreben.





dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Das erreicht man schon. Es ist ein symbolisches Zeichen für den Grenzwert, dem die Partialsummen zustreben.






es ist ein Grenzwert, ja, aber den erreicht man nur zunehmend näher, aber niemals genau.
Daher ist für mich der unendliche Grenzwert mit "=" nur eine andere, quasi suggestive Schreibweise für: ,aber schon ziemlich genau
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

es ist wie mit den Bahnschienen, die sich "in der Unendlichkeit" in 1 Punkt treffen.
Aber wo soll das sein? Geh doch mal dort hin...! Augenzwinkern
Es ist nur eine Redeweise für eine zunehmende Approximierung, aber keine echte Identität.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dsyleixa
es ist wie mit den Bahnschienen, die sich "in der Unendlichkeit" in 1 Punkt treffen.
Aber wo soll das sein? Geh doch mal dort hin...! Augenzwinkern


Ich bin schon da.



Schaut die 0 uns nicht herrlich an, im geometrischen Zentrum zwischen und gelegen? Komm einfach auch hierher, trau dich!
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

die Null ist nicht "im geometrischen Zentrum zwischen Minus-Unendlich und plus-Unendlich, weil "Unendlich" keine Zahl ist, und das ist auch genau der Grund, warum man nicht durch Null dividieren kann und auch nicht mit "Unendlich" rechnen kann.
??
Unsinn!! :-P
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dsyleixa
??


Ich habe nie behauptet, daß man das Rechnen mit reellen Zahlen so gedankenlos, wie du es bei deinem Nichtargument vorführst, auf übertragen kann. Daß man mit aber nun überhaupt nicht rechnen kann, würde ich bestreiten. Nur weil du das nicht kannst, heißt das noch lange nicht, daß andere das nicht können. Ich kann es jedenfalls. Und wenn du unbedingt einmal sehen willst, dann schau dir diesen Beitrag und die paar folgenden an.

Dein Problem ist, daß du den Grenzwertbegriff nicht verstanden hast. Er ist den reellen Zahlen und allem, was man mit ihnen tut, inhärent.

Achilles holt die Schildkröte nun mal ein. Gegen den Muskelprotz hat das arme Panzertier, das sich Zentimeter für Zentimeter nach vorne kämpft, einfach keine Chance. Da kann sich Zenon noch so sehr abmühen.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

du warst derjenige, der das geschrieben hat mit "0 im geometrischen Zentrum" von minus und plus-Unendlich.
Aber das wohl ein Witz, was auch heißt, dass es nicht stimmt und also falsch ist.
Auch das Beispiel mit der Schildkröte ist falsch oder missweisend, denn man kann eben Zeit nicht beliebig unendlich teilen - Zeit ist nunmal gequantelt, also darf man so nicht rechnen: die Herangehensweise an dieses Wettlaufproblem ist schon grundverkehrt.

Ich verstehe diese Limes-Sache schon grundsätzlich, aber verstehe sie als "Redeweise" oder "Gedankenmodell" für Ziele, denen man eventuell näher kommt, wenn man immer weitermacht, aber sie nie erreicht; sie bleiben also "Vorstellungen" von einem Wert, aber man erreich diesen Wet nie, wenn man der Vorschrift folgt.

Ich kann allerdings auch das = im Zusammenhang mit Limes etc. als "Schreibweise" verstehen für "ungefähr, schon ziemlich genau, und zunehmend genauer, wenn man lang genug rechnet, aber niemals wirklich exakt": Letzendlich sind ja alle Symbole nur Interpretationen von gedanklichen Konzepten, und so kann ich ntl auch die Gleichheit von e^ix und cos(x)+i*sin(x) verstehen (lt. Post von Finn ganz oben, ich glaube, an 4. Stelle).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dsyleixa
es ist wie mit den Bahnschienen, die sich "in der Unendlichkeit" in 1 Punkt treffen.
Aber wo soll das sein? Geh doch mal dort hin...! Augenzwinkern
Es ist nur eine Redeweise für eine zunehmende Approximierung, aber keine echte Identität.


Mit Bahnschienen hast du sicher recht, das sind ja auch keine unendlichen Geraden, sondern endliche Strecken. Auf der Riemannschen Zahlenkugel treffen sich nicht nur parallele Geraden sondern alle Geraden im Punkt . Ich war schon da, ich hab's gesehen, es ist wirklich so.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dsyleixa
Ich verstehe diese Limes-Sache schon grundsätzlich, aber verstehe sie als "Redeweise" oder "Gedankenmodell" für Ziele, denen man eventuell näher kommt, wenn man immer weitermacht, aber sie nie erreicht; sie bleiben also "Vorstellungen" von einem Wert, aber man erreich diesen Wet nie, wenn man der Vorschrift folgt.


Wenn du darauf bestehst, hast du nichts verstanden.
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