Betragsgleichung lösen

12.10.2020, 15:20

Mathman91

Betragsgleichung lösen

Hallo,

ich habe folgende Betragsgleichung gegeben: $\begin{eqnarray*} |x^{2}-x|=24 \end{eqnarray*}$

Nun wollte ich euch Fragen, ob meine Rechnung so stimmt.

Fallunterscheidung:

$\begin{eqnarray*} |x^{2}-x|= \begin{pmatrix} x^{2}-x \,\,für\,\, x^{2}-x\geq 0 \\ -(x^{2}-x) \,\,für\,\, x^{2}-x<0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Fall: $\begin{eqnarray*} x^{2}-x\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}-x=24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}-x-24=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt nehme ich die PQ-Formel: P = -1 und Q = -24

Dann habe ich für den 1.Fall folgende Lösungen: x1 = -4,42 und x2 = 5,42

$\begin{eqnarray*} L1 = \left\{ (-4,42), (5,42)\right\} \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} x^{2}-x<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(x^{2}-x)=24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}+x=24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}+x-24=0 \end{eqnarray*}$

Wieder die PQ - Formel angewendet: P = 1 und Q = -24

Lösungen: x1 = 4,42 und x2 = -5,42 beide Ergebnise sind aber nicht kleiner 0. Somit ist keines der beiden eine Lösung.

$\begin{eqnarray*} L2 = \left\{\right\} \end{eqnarray*}$

Gesamtlösung: $\begin{eqnarray*} L3 = L1 \cup L2 =\left\{ (-4,42), (5,42)\right\} \end{eqnarray*}$

Sorry, für die nicht ganz richtige Schreibweise.
Ich bin mit dem Formeleditor nicht ganz zurecht gekommen.

Stimmt meine Rechnung?

SG

12.10.2020, 15:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathman91
2. Fall: $\begin{eqnarray*} x^{2}-x<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(x^{2}-x)=24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}+x=24 \end{eqnarray*}$

Die letzte Umformung ist Unfug. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} -x^{2}+x=24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}-x+24=0 \end{eqnarray*}$ ohne reelle Lösung.

P.S. zur Ergebnisangabe: Es ist generell nicht sinnvoll, sowohl für den Dezimalpunkt als auch für das Listentrennzeichen in ein- und derselben Formel das Komma zu verwenden. Also besser $\begin{eqnarray*} L_3 = \{ -4{,}42; 5{,}42\} \end{eqnarray*}$ angeben, oder aber die "US/englische" Variante $\begin{eqnarray*} L_3 = \{ -4.42, 5.42\} \end{eqnarray*}$ mit dem Punkt als Dezimalpunkt. Aber "gemischt" sieht es furchtbar aus: $\begin{eqnarray*} \left\{ (-4,42), (5,42)\right\} \end{eqnarray*}$ würde ich als Menge von zwei zweidimensionalen Gitterpunkten (d.h. mit ganzzahligen Koordinaten) lesen...

12.10.2020, 16:06

Mathman91

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Ja, danke für die Info.

Aber bei deiner Umformung von $\begin{eqnarray*} -x^2-x=24 \end{eqnarray*}$ komme ich jetzt nicht ganz mit. verwirrt

Das müsste doch so ausehen:

$\begin{eqnarray*} -(x^{2}-x)=24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x^{2}+x=24 \end{eqnarray*}$ hier nun die 24 mit -24 auf die andere Seite bringen.
$\begin{eqnarray*} -x^{2}+x-24=0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt durch das Minus vor dem x^2 nochmal das Vorzeichen umdrehen?

12.10.2020, 16:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathman91
Aber bei deiner Umformung von $\begin{eqnarray*} -x^2-x=24 \end{eqnarray*}$ komme ich jetzt nicht ganz mit.

Ich auch nicht, da ich eine solche Umformung NIE getätigt habe. unglücklich

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} -x^{2}+x-24=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt auch, und nun multipliziere diese Gleichung mit (-1), um auf die Standarddarstellung einer quadratischen Gleichung (d.h. mit Leitkoeffizient 1) zu kommen.

12.10.2020, 17:06

Mathman91

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Verzeih mir bitte meinen Fehler.
Wenn ich gestresst bin, dann passiert mir ständig sowas.

O.K., dann weiß ich was zu tun ist.

Bis auf den einen Fehler stimmt aber meine Rechnung?

Vielen Dank.

SG

12.10.2020, 17:47

Elvis

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Jetzt stimmt alles. Keine Panik, kein Stress, Mathematik soll man in Ruhe genießen. Vorzeichenfehler soll man nicht machen, sie kommen aber immer wieder vor. Da steckt der Teufel

drin. Tipp: Vorzeichenfehler lassen sich vermeiden, indem man bei Vorzeichenänderungen immer langsam und besonders sorgfältig arbeitet. Fehlersuche ist lästig und zeitraubend, und hinterher ärgert man sich jedes mal zu recht, weil solche und ähnliche Fehler vermeidbar sind. Bei Übungsaufgaben ist das nicht so schlimm, in einer Klausur kann es schon Zeit und Punkte kosten, in der eigenen Arbeit dürfen keine Fehler passieren, schon gar nicht, wenn sie große Auswirkungen haben. Vor diesem Hintergrund wird man im Laufe der Zeit fast automatisch sorgfältig arbeiten, und man sagt sich, das hätte ich auch schon früher so machen können ...

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