Differenzierbarkeit (Beweis mit der Zerlegungsformel) |
12.10.2020, 16:31 | student1978 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Differenzierbarkeit (Beweis mit der Zerlegungsformel) Hallo! Wir müssen Folgendes beweisen: Ist f differenzierbar an x0, so ist f auch stetig an x0. Und zwar mithilfe der Zerlegungsformel: f ist genau dann differenzierbar an x0, wenn - ein c enthalten in R (reele Zahlen) und - eine Funktion r mit lim r(h) = 0 h->0 so existieren, dass f(x0 + h) = f(x0) + c * h + r(h) * h Es gilt dann f'(x0) = c. Meine Ideen: Ich hatte die Idee dass f ja dann stetig ist, wenn Folgendes gilt: lim f(x) x->x0 = f(lim x) x->x0 = f(x0) Aber ich weiß nicht wie ich das in den Beweis einbauen soll. Oder ob das hier überhaupt der richtige Lösungsansatz ist. |
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12.10.2020, 16:35 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist einfach durch die "Verschiebesubstitution" bzw. umgestellt der Grenzwertvariable. Und damit kannst du dann einsetzen und zum Grenzwert übergehen. Speziell beim letzten Term kannst du dann die Grenzwertregel zum Produkt nutzen... |
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12.10.2020, 18:18 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Differenzierbarkeit (Beweis mit der Zerlegungsformel)
Ganz so einfach ist das nicht. Die Klasse dieser so beschriebenen Funktionen ist allgemeiner als die differenzierbaren: z.B: Für diese gilt: Also stetig in (2|2) aber nicht differenzierbar. In dieser allgemeineren Klasse von Funktionen funktioniert dieser Beweis, aber überleg dir genauer, warum er auch für differenzierbare Funktionen funktioniert. |
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12.10.2020, 19:04 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Luftikus Das kann nicht sein. Die Gleichung lässt sich äquivalent umformen zu Linke und rechte Seite sind identisch für alle . Somit gilt Folglich muss jede so beschriebene Funktion an der Stelle differenzierbar sein. |
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12.10.2020, 19:24 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, du hast Recht! Jetzt wo du es sagst, fällt mir auch auf, dass ein linearer Faktor h abgespalten wurde. Allgemein muss in dieser Darstellung gelten: |
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