Differenzierbarkeit (Beweis mit der Zerlegungsformel)

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student1978 Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit (Beweis mit der Zerlegungsformel)
Meine Frage:
Hallo!

Wir müssen Folgendes beweisen:

Ist f differenzierbar an x0, so ist f auch stetig an x0.

Und zwar mithilfe der Zerlegungsformel:

f ist genau dann differenzierbar an x0, wenn

- ein c enthalten in R (reele Zahlen) und
- eine Funktion r mit
lim r(h) = 0
h->0

so existieren, dass

f(x0 + h) = f(x0) + c * h + r(h) * h

Es gilt dann f'(x0) = c.

Meine Ideen:
Ich hatte die Idee dass f ja dann stetig ist, wenn Folgendes gilt:

lim f(x)
x->x0

= f(lim x)
x->x0

= f(x0)

Aber ich weiß nicht wie ich das in den Beweis einbauen soll. Oder ob das hier überhaupt der richtige Lösungsansatz ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist einfach durch die "Verschiebesubstitution" bzw. umgestellt der Grenzwertvariable.

Und damit kannst du dann einsetzen und zum Grenzwert übergehen. Speziell beim letzten Term kannst du dann die Grenzwertregel zum Produkt nutzen...
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit (Beweis mit der Zerlegungsformel)
Zitat:
Original von student1978
Meine Frage:
Hallo!

Wir müssen Folgendes beweisen:

Ist f differenzierbar an x0, so ist f auch stetig an x0.

Und zwar mithilfe der Zerlegungsformel:

f ist genau dann differenzierbar an x0, wenn

- ein c enthalten in R (reele Zahlen) und
- eine Funktion r mit
lim r(h) = 0
h->0

so existieren, dass

f(x0 + h) = f(x0) + c * h + r(h) * h

Es gilt dann f'(x0) = c.


Ganz so einfach ist das nicht. Die Klasse dieser so beschriebenen Funktionen ist allgemeiner als die differenzierbaren:

z.B:


Für diese gilt:



Also stetig in (2|2) aber nicht differenzierbar.

In dieser allgemeineren Klasse von Funktionen funktioniert dieser Beweis, aber überleg dir genauer, warum er auch für differenzierbare Funktionen funktioniert. Augenzwinkern
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

@Luftikus Das kann nicht sein. Die Gleichung lässt sich äquivalent umformen zu



Linke und rechte Seite sind identisch für alle . Somit gilt



Folglich muss jede so beschriebene Funktion an der Stelle differenzierbar sein.
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Finn_
@Luftikus Das kann nicht sein. Die Gleichung lässt sich äquivalent umformen zu



Linke und rechte Seite sind identisch für alle . Somit gilt



Folglich muss jede so beschriebene Funktion an der Stelle differenzierbar sein.


Ja, du hast Recht! smile
Jetzt wo du es sagst, fällt mir auch auf, dass ein linearer Faktor h abgespalten wurde.
Allgemein muss in dieser Darstellung gelten:

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