Beispiel zur Betragsgleichung

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Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel zur Betragsgleichung
Hier noch ein Beispiel, wo ich jetzt ein x^2 auf der rechten Seite habe.



1.Fall:






PQ - Formel lösung:

und



2.Fall:







PQ - Formel lösung:

und



Gesamtlösung:



Stimmt die Rechnung so?

VG
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus:


Viele Grüße
Steffen
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke für die Kontrolle.

LG
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte keine eckigen Klammern setzen, wenn Betragsstriche gemeint sind.

Man kann die Aufgabe auch durch weniger Rechnen und mehr Argumentieren lösen:



Die rechte Seite definiert eine nach oben geöffnete Parabel (EDIT-Korrektur: natürlich ist Parabel nach unten geöffnet). Nichtnegative Werte (wie sie die linke Seite der Gleichung erfordert) gibt es nur zwischen den Nullstellen. Eine offensichtliche Faktorisierung hilft weiter (Satz von Vieta). Links ziehen wir die 2 vor den Betrag:



Für Lösungen kommen also nur aus dem Intervall in Frage. Für ist , so daß man links auf die Betragsstriche verzichten kann. Die Gleichung vereinfacht sich zu



Offenbar ist eine Lösung in . Für alle andern darf man durch dividieren:



Da auch ist, sind die Lösungen der Gleichung.
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis.

Eine Frage noch, wie müsste ich folgende Betragsgleichung lösen:



Jetzt habe ich die Betragsgleichung auf beiden Seiten.

Danke.

SG
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Also brauchst Du vier Fallunterscheidungen.



EDIT: Alternativ könntest Du argumentieren, dass man hier ausnahmsweise auf beiden Seiten quadrieren darf, ohne vor Scheinlösungen Angst zu haben. Das erleichtert die Sache ein wenig.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen |x+3|=|x-(-3)|=|x-3| ist das die Frage nach allen x, die von 3 denselben Abstand haben wie von - 3. Diese Frage lässt sich sehr einfach beantworten, ganz ohne Fallunterscheidung und ohne Funktionsgraphen. Zusatz: Man kann die Frage für reelle und für komplexe x ohne weiteres beantworten.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Elegant!
aber ob das so vom Autor beabsichtigt war verwirrt

Bei mir hätte es da volle Punktzahl mit Sternchen gegeben, weil Mathematik
zu logischem Denken in Freiheit beitragen soll, aber bei einem Test ist man lieber etwas vorsichtiger - oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich bei einem Test meine Intelligenz nicht benutzen darf, dann taugt der Lehrer nichts. Der Lehrer von Carl Friedrich Gauß hat in den 1780er Jahren dafür gesorgt, dass der Herzog von Braunschweig selbigen förderte. Genies gehen verloren, wenn Lehrer sie nicht erkennen und unterstützen.
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste ich das ja folgendermaßen quadrieren:



Dann müsste folgendes herauskommen:



Nun müsste ich die Gleichung umformen damit ich ja wieder auf eine quadratische Funktion komme die ich dann am einfachsten mit der PQ ausrechnen kann. Aber irgendwas habe ich falsch gemacht?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathman91
[...]
Nun müsste ich die Gleichung umformen damit ich ja wieder auf eine quadratische Funktion komme die ich dann am einfachsten mit der PQ ausrechnen kann. Aber irgendwas habe ich falsch gemacht?


Du kommst aber nicht auf eine quadratische Gleichung
sondern nur auf eine lineare Gleichung
wie in der vorigen post gezeigt wurde.

Du kannst jeden Schritt haarklein nach den Regeln der Gleichungsumformungen
( = Äquivalenzumformungen ) durchführen bis dasteht.
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, o.k.

dann stimmt meine Rechnung, muss es nur noch nach x auflösen und dann kommt natürlich x = 0 raus.

Vielen Dank.

SG
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage noch zu diesem Beispiel.

Ich habe ja mit folgenden Bedingungen gearbeitet:

1.Fall:
2.Fall:

Im Unterricht wurde dann noch eine Umformung durchgeführt zu:

1.Fall: zu
2.Fall: zu

Ich habe nicht verstanden, warum die das machen?

Meine Rechnung stimmt ja, wozu dient dann diese Umformung? verwirrt

Solche sachen sorgen nur für verwirrung.


SG
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Dich verwirrt es, anderen hilft es vielleicht, wenn man in die etwas anschaulichere Aufteilung links und rechts von -2 (siehe mein Diagramm) umformt.
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch etwas, sorry das ich so viel frage. geschockt

Ich habe euch auch in diesem Beitrag mal gefragt, wie ich folgendes Beispiel lösen kann:



Eine Lösung war es ja zu quadrieren.

Die andere Lösung ist ja die Fallunterscheidung.
Hier hätte ich ja 4 Fälle zu unterscheiden.

Ich schreibe jetzt nur mal die einzelnen Fälle auf:

1. Fall:

2. Fall:

3. Fall:

4. Fall:

Nur die Bedingungen sind mir nicht ganz klar.

Für: habe ich: und
Für: habe ich: und

Wie sehen jetzt die Bedingungen für die einzelnen Fälle aus?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Geh mit dem x von großen positiven Zahlen abwärts. Hier sind sowohl x+3 als auch x-3 positiv, dann kann man in der Tat die Beträge weglassen.

Nun senke x weiter ab, dann wird x-3 irgendwann negativ, aber x+3 ist noch positiv. Für welche Werte von x gilt das?

Wenn es weiter abwärts geht, wird auch x+3 negativ. Ab wann müssen also beide Seiten invertiert werden?

Mein Diagramm sollte auch da helfen.
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste es so aussehen, wenn ich das Richtig verstanden habe:

1.Fall:

2.Fall:

3.Fall:

4.Fall:
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Dein dritter Fall ist unmöglich. Es gibt keine Zahl, die um drei erhöht negativ und um drei erniedrigt positiv ist.

Es bleiben also nur die von mir beschriebenen drei Fälle.
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

O.K., auch wenn der Fall nicht möglich ist, kann ich die Fälle genauso aufstellen.
Spätestens beim Einsetzen meiner Werte in die Bedingungen sehe ich dann eh, dass das nicht geht.

Aber die Bedingungen stimmen so, wie ich sie aufgestellt habe?

SG
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Bedingungen sind in Ordnung.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe bei dieser Art von Betragsgleichungen in diesem Board schon öfter eine alternative Lösungsmethode vorgeschlagen. Sie wurde aber von den Fragestellern bisher ignoriert. Dabei ist sie weniger anfällig für Fallunterscheidungsfehler. Die Idee basiert darauf, aus einer Gleichung ein Nullstellenproblem einer Funktion zu machen, hier etwa so:



Beim Auflösen der Betragsstriche gibt es immer einen Plus- und einen Minusfall. Die Nullstellen von finden sich daher unter den Lösungen der vier Gleichungen , als da wären



Offenbar sind und sowie und äquivalent (mit -1 durchmultiplizieren). Man hat daher die ersten beiden Gleichungen zu lösen. Mit den Lösungen dieser Gleichungen macht man in die Probe. Klappt die Probe, hat man eine Nullstelle gefunden, klappt sie nicht, muß man die Scheinlösung ausscheiden.

Die Gleichung ist unlösbar, die Gleichung hat die Lösung 0. Die Probe klappt: . Und damit ist 0 die einzige Lösung der gegebenen Betragsgleichung.

Diese Methode hat den Nachteil, daß man in der Regel zu viele Gleichungen löst, denn das Auflösen der Beträge, ob plus oder minus, hängt ja von ab. Und diese Abhängigkeit von überprüft man nicht. Durch die Probe am Schluß werden Scheinlösungen, die durch diese "Nachlässigkeit" entstehen, ausgeschieden.
Die Methode hat aber auch einen gravierenden Vorteil. Man muß sich nicht durch Fallunterscheidungen, die höchst fehleranfällig sind, quälen. Die meisten Beispiele aus der Schule führen auch zu einfach lösbaren linearen oder quadratischen Gleichungen. In unserem Beispiel waren es vier lineare Gleichungen, von denen sich noch jeweils zwei als äquivalent erwiesen. Die verbleibenden zwei Gleichungen ließen sich quasi im Kopf lösen.
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt folgendes Beispiel gerechnet:



++ 1.Fall:




0=0

Keine Lösung.

+- 2.Fall:






Division durch 0, also auch keine Lösung.

-+ 3.Fall:






-- 4.Fall:





Also gibt es ja keine Lösung.

In den Lösungsunterlagen steht aber als Lösung: x=0

x=0 ist ja eine Division durch Null, also hat es keine Lösung?

SG
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathman91



Fehler...

Zitat:
Original von Mathman91



Division durch 0, also auch keine Lösung.


Doch, denn Du dividierst keineswegs durch Null, sondern durch 2.

Zitat:
Original von Mathman91



Fehler...

Viele Grüße
Steffen
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hab ich mich wiedermal vertan.
Ich studiere Berufsbegleitend und da an der Uni leider zu wenig Zeit ist, muss ich halt das meiste zu Hause selbst erarbeiten. Da ich leider viel zu tun habe auch beruflich, passieren unter dem Stress leider genau solche Fehler.

Bitte nicht böse sein.

++ 1.Fall:






++ 3.Fall:







Jetzt passt es.

Zur Division durch 0:

Also wenn ich z.B. 0/0 hätte, dann habe ich keine Lösung. Wenn ich aber durch eine Zahl dividiere, dann ergibt das 0. Egal ob die Null jetzt im Zähler oder Nenner steht. Mich verwirrt es nur, das der Taschenrechner immer "error, divison by zero" schreibt. Deshalb die Frage.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen Taschenrechner kenne ich nicht, aber Null dividiert durch irgendetwas außer Null ist immer Null. Und im Nenner hat eine Null nichts verloren.
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.
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