Lognormalverteilung normieren

13.10.2020, 10:28	ln3	Auf diesen Beitrag antworten »
Lognormalverteilung normieren Meine Frage: Hallo alle zusammen. Wie kann ich eine Lognormalverteilung normieren ? Meine Ideen: Ich denke wie die Normalverteilung, aber ich bin mir da nicht sicher. Daher wollte ich zur Sicherheit fragene. Angenommen wir haben eine Lognormalverteilung mit den Parametern $\begin{eqnarray} \mu=0.5 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \sigma=2 \end{eqnarray}$
13.10.2020, 12:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls du unter "normieren" die Operation verstehst, die Zufallsgröße einer LINEAREN Transformation in der Weise zu unterziehen, dass die transformierte Zufallsgröße Erwartungswert 0 sowie Varianz 1 besitzt: Sofern die Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine positive, endliche Varianz besitzt, ist die Transformation dabei immer $\begin{eqnarray} Z = \frac{X-E(X)}{\sqrt{V(X)}} \end{eqnarray}$ . () Im Falle $\begin{eqnarray} X\sim \operatorname{Log}\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right) \end{eqnarray}$ haben wir nun $\begin{eqnarray} E(X) = e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} V(X) = e^{2\mu+\sigma^2}\left(e^{\sigma^2}-1\right) \end{eqnarray}$ , das ist dann entsprechend in () einzusetzen. Zu bemerken wäre noch, dass das was ANDERES ist, als die normalverteilte Größe $\begin{eqnarray} \ln(X)\sim \mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right) \end{eqnarray}$ zu normieren und anschließend wieder zu exponentieren: $\begin{eqnarray} \ln(Z') = \frac{\ln(X)-\mu}{\sigma} \end{eqnarray}$ entspricht dann nämlich $\begin{eqnarray} Z' = e^{-\frac{\mu}{\sigma}}\cdot X^{\frac{1}{\sigma}} \end{eqnarray}$ , was sich komplett von obigem $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ unterscheidet.

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