Finde Homomorphismus zwischen Kongruenzen mod 18 und mod 3

14.10.2020, 08:42

Eldar

Finde Homomorphismus zwischen Kongruenzen mod 18 und mod 3

Die (zyklische) multiplikative Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times=\mathbb{Z}^\ast_{18}=\{1,5,7,11,13,17\}=<5> \end{eqnarray*}$ hat eine Ordnung $\begin{eqnarray*} ord(\mathbb{Z}^\ast_{18})=6 \end{eqnarray*}$ und basierend auf Euler's Theorem können wir folgende Kongruenzen via $\begin{eqnarray*} 5^j5^{6n+6-j}\equiv1\pmod{18} \end{eqnarray*}$ ableiten:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cc} j=0 & [5]_{18}\cdot5^{6n+5}\equiv1\pmod{18}\\ j=1 & [7]_{18}\cdot5^{6n+5}\equiv1\pmod{18}\\ j=2 & [17]_{18}\cdot5^{6n+5}\equiv1\pmod{18}\\ j=3 & [13]_{18}\cdot5^{6n+5}\equiv1\pmod{18}\\ j=4 & [11]_{18}\cdot5^{6n+5}\equiv1\pmod{18}\\ j=5 & [1]_{18}\cdot5^{6n+5}\equiv1\pmod{18}\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

Nun lasst uns folgende Kongruencen betrachten:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c} [5]_{18}\cdot8\equiv1\pmod{3}\\ [7]_{18}\cdot16\equiv1\pmod{3}\\ [17]_{18}\cdot2\equiv1\pmod{3}\\ [13]_{18}\cdot4\equiv1\pmod{3}\\ [11]_{18}\cdot2\equiv1\pmod{3}\\ [1]_{18}\cdot4\equiv1\pmod{3}\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

Mit Blick darauf, dass $\begin{eqnarray*} m\mid n \end{eqnarray*}$ (in our case $\begin{eqnarray*} 3\mid18 \end{eqnarray*}$ ) die Abbildung $\begin{eqnarray*} r\bmod n \rightarrow r\bmod n \end{eqnarray*}$ einen Ring-Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ liefert, was ist der Morphismus zwischen beiden oben gezeigten Kongruenzen? Sollten wir ggf. andere Generatoren als 5 berücksichtigen?

14.10.2020, 11:10

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RE: Finde Homomorphismus zwischen Kongruenzen mod 18 und mod 3
Wie kommst du denn auf die ersten Kongruenzen? verwirrt

Für j=5 steht da letztlich $\begin{eqnarray*} 5^{5}\equiv1\pmod{18} \end{eqnarray*}$ und das ist offensichtlich falsch.
Die Kongruenz für j=1 ist auch falsch, richtige wäre $\begin{eqnarray*} \equiv 5 \pmod{18} \end{eqnarray*}$

14.10.2020, 12:36

Eldar

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14.10.2020, 12:54

Eldar

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RE: Finde Homomorphismus zwischen Kongruenzen mod 18 und mod 3
sorry hatte vergessen zu erwähnen, dass $\begin{eqnarray*} n\ge1 \end{eqnarray*}$

Und hatte auch einen Schreibfehler - es muss final heißen:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} j=0 & [1]_{18}\cdot5^{6n+6}\equiv1\pmod{18} & ~~ [1]_{18}\cdot4\equiv1\pmod{3}\\ j=1 & [5]_{18}\cdot5^{6n+5}\equiv1\pmod{18} & ~~ [5]_{18}\cdot8\equiv1\pmod{3}\\ j=2 & [7]_{18}\cdot5^{6n+4}\equiv1\pmod{18} & ~~ [7]_{18}\cdot16\equiv1\pmod{3}\\ j=3 & [17]_{18}\cdot5^{6n+3}\equiv1\pmod{18} & ~~ [17]_{18}\cdot2\equiv1\pmod{3}\\ j=4 & [13]_{18}\cdot5^{6n+2}\equiv1\pmod{18} & ~~ [13]_{18}\cdot4\equiv1\pmod{3}\\ j=5 & [11]_{18}\cdot5^{6n+1}\equiv1\pmod{18} & ~~ [11]_{18}\cdot2\equiv1\pmod{3}\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

Da dürfte nun wirklich kein Schreibfehler mehr sein.

14.10.2020, 16:30

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RE: Finde Homomorphismus zwischen Kongruenzen mod 18 und mod 3
Deine Schreibweise $\begin{eqnarray*} [1]_{18}\cdot5^{6n+6}\equiv1\pmod{18} \end{eqnarray*}$ ergibt so keinen Sinn. Du multiplizierst ein Element von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times \end{eqnarray*}$ , also eine Äquivalenzklasse, mit einer Zahl. Das ist überhaupt nicht definiert. Entweder $\begin{eqnarray*} [1]_{18}\cdot[5^{6n+6}]_{18} = [1]_{18} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1\cdot5^{6n+6}\equiv1\pmod{18} \end{eqnarray*}$ .

Mir ist jetzt nicht klar, was du mit folgendem willst:

Zitat:

Der Abbildung $\begin{eqnarray*} r \bmod{n} \to r\bmod{n} \end{eqnarray*}$ einen Ring-Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Erstens sollte das wohl $\begin{eqnarray*} r \bmod{n} \to r\bmod{m} \end{eqnarray*}$ heißen. Aber wo siehst du den Zusammenhang zwischen dem Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und der multiplikativen Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times \end{eqnarray*}$ verwirrt

Wenn du einen Homomorphismus $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times \end{eqnarray*}$ suchst, kannst du im Fall $\begin{eqnarray*} m|n \end{eqnarray*}$ durchaus $\begin{eqnarray*} r \bmod{n} \to r\bmod{m} \end{eqnarray*}$ nehmen. Der schwierigste Teil besteht darin zu überlegen, warum das eine wohldefinierte Abbildung ist, also man wieder in der Einheitengruppe landet.

14.10.2020, 17:56

Eldar

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RE: Finde Homomorphismus zwischen Kongruenzen mod 18 und mod 3
Es stimmt, ich habe es mir mit der Notation etwas zu einfach gemacht.
Mit $\begin{eqnarray*} [1]_{18}\cdot5^{6n+6}\equiv1\pmod{18} \end{eqnarray*}$ meine ich natürlich, dass ich einen Vertreter der Äquivalenzklasse 1 modulo 18 mit der Zahl/Fünferpotenz multipliziere (in mancher Literatur macht man sich das auch zu einfach und schreibt leger die Äquivalenzklasse/den kleinsten Repräsentant stellvertretend für alle Klassenelemente hin - dieser legeren Haltung bin ich zum auch zum Opfer gefallen und werde künftig besser drauf achten).
Mit der Abbildung hast Du völlig recht (und wieder einen C&P-Fehler gefunden) - selbstverständlich meine ich (wie Du korrekt erkannt hast) den Morphismus zwischen den beiden, im Fokus stehenden, multiplikativen Gruppen. Und um den schwierigsten Teil geht es mir: warum (und ggf. wie deduktiv) kann ich von der einen Kongruenz auf die andere schließen. Wäre genial und ich wäre Dir sehr dankbar, wenn Du da eine Idee hättest.

14.10.2020, 18:23

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RE: Finde Homomorphismus zwischen Kongruenzen mod 18 und mod 3
Die ganzen aufgelisteten Kongruenzen brauchst du dafür nicht.
Wenn du schon weißt, dass $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(r \bmod{n})= r\bmod{m} \end{eqnarray*}$ ein Ringhomomorphismus ist, dann ist nur noch zeigen, dass aus $\begin{eqnarray*} \gcd (r \bmod{n},n)=1 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \gcd(r \bmod{m},m)=1 \end{eqnarray*}$ folgt. Das bedeutet letztlich, dass $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times \end{eqnarray*}$ abgebildet wird.

15.10.2020, 08:06

Eldar

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RE: Finde Homomorphismus zwischen Kongruenzen mod 18 und mod 3
Besten Dank für den Tipp! Ich probiere das mal so aus.

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