Summenformel beweisen (vollständige Induktion)

14.10.2020, 11:09

vaultZ

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Summenformel beweisen (vollständige Induktion)

Meine Frage:
Ein Übungszettel stellt folgende Aufgabe:

1) Berechnen Sie folgende Summe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} (2k+1) \end{eqnarray*}$

Hinweis: Beachten Sie den Beweis der Vollständigen Induktion.

Mich verwirrt leider das n-1 oben. Wie soll ich auf ein Ergebnis kommen, wenn ich nicht weiß, wie oft ich durch (2k+1) iterieren soll? Das ist mir nicht so ganz klar ohne eine bekannte Grenze. Wie drücke ich das nun am Besten aus?
Der Beweis der vollständigen Induktion gibt mir leider auch keine Inspiration dazu. :/

Meine Ideen:
Ich weiß, das mit (2k+1) alle ungeraden Zahlen gemeint sind. Nur ist mir wegen n-1 nicht klar, welchen Bereich diese Summe umfassen soll. Was ist damit gemeint?

Danke Euch!

14.10.2020, 11:23

Elvis

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Wenn du die Summe bis n-1 nicht bilden kannst, dann berechne die Summe bis n und ziehe 2n+1 ab. n ist eine Variable.
Zum Beispiel n=1: S=1, n=2: S=1+3=4, n=3: S=1+3+5=9, ... allgemein: S=1+3+5+...+2(n-1)+1=1+3+5+...+2n+1-(2n+1)

14.10.2020, 11:38

vaultZ

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Edit (mY+): Vollzitat entfernt.

Danke Dir für die fixe Antwort. Ok, also habe ich das richtig verstadnen: Es gibt sozusagen kein "kürzeres" Ergebnis? Die richtige Lösung wäre einfach das in "...." Schreibweise aufzuschreiben und am Ende einfach "+ 2(n-1)+1" anzuhängen?

Das ist ja irgendwie ziemlich einfach.^^

14.10.2020, 11:55

mYthos

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RE: Summe mit 2 Unbekannten berechnen

Zitat:

Original von vaultZ
...
Mich verwirrt leider das n-1 oben. Wie soll ich auf ein Ergebnis kommen, wenn ich nicht weiß, wie oft ich durch (2k+1) iterieren soll? ...

Zähle doch einfach von 0 bis n-1, das sind n Summanden. Diese lauten dann 1, 3, 5, .. usw, der letzte ist 2(n-1)+1 = 2n-1.

mY+

14.10.2020, 12:12

vaultZ

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RE: Summe mit 2 Unbekannten berechnen
Edit (mY+): Vollzitat entfernt.

Klar. Aber ich wusste nicht, dass die richtige Lösung dann einfach nur ist die Zahlenreihe "1, 3, 5, ... + 2n-1" aufzuschreiben und fertig.^^ Kam mir irgendwie billig vor.

14.10.2020, 12:18

mYthos

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Naja, es ist nun auch noch die Summe zu bestimmen. Welche Art von Reihe liegt vor und wie lautet die Summe?

mY+

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14.10.2020, 12:21

vaultZ

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Edit (mY+): Vollzitat entfernt.

Aha ok, also bin ich immer noch bei 0.

Ohne n kann ich da meines Wissens nichts ausrechnen. Gar nichts. Wie soll ich also die Summe bestimmen, ohne n zu kennen? Ich kann ja alles was ich lustig bin für n einsetzen und je nachdem würde die Summe sich verändern. Also wie berechne ich die?

14.10.2020, 12:30

mYthos

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Die Summe soll nicht für ein (zahlenmäßig) bestimmtes n bestimmt werden, sondern allgemein für n Glieder.

Hinweis:
Es ist eine arithmetische Reihe mit n Gliedern (deshalb das "Zählen") und der Differenz 2, bzw. . $\begin{eqnarray*} a_1 = 1, \ a_n = 2n - 1 \end{eqnarray*}$ . Der Term für die Summe ist recht einfach ...

mY+

14.10.2020, 12:49

Elvis

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Kommen dir die Zahlen 1,4,9,16,25,36,... nicht bekannt vor ? Du sollst die Summen für alle n berechnen und mit vollständiger Induktion beweisen, dass sie diesen bekannten Zahlen gleich sind.

14.10.2020, 12:56

mYthos

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In der Schulmathematik sind die Formeln für die arithmetische Reihe durchaus bekannt (!).
Somit ist die Summe damit direkt zu berechnen.
-----------
Mit vollständiger Induktion (in der Schulmathematik nicht üblich*) ist diese natürlich ebenfalls zu beweisen.

(*) Möglicherweise hat vaultZ im falschen Forum gepostet. Ich verschiebe den Thread mal ...

mY+

14.10.2020, 12:57

Elvis

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Vollständige Induktion steht im Hinweis zur Aufgabe, deshalb habe ich noch einmal darauf aufmerksam gemacht.

14.10.2020, 12:59

vaultZ

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Zitat:

Original von mYthos
Die Summe soll nicht für ein (zahlenmäßig) bestimmtes n bestimmt werden, sondern allgemein für n Glieder.

mY+

Ich weiß...wusste nur nicht wie ich das angeben soll.

Ok, die Lösung ist also im Prinzip?:
$\begin{eqnarray*} L = \left\{ 2n-1 | n \geq 1 \right\} \end{eqnarray*}$
da:
$\begin{eqnarray*} k = n-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2(n-1)+1 = 2n-1 \end{eqnarray*}$

14.10.2020, 13:23

mYthos

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Wenn du den vorletzten Post von Elvis nochmals ansiehst, merkst du, dass dein Ergebnis nicht stimmen kann ...
(Summenformel der arithmetischen Reihe)

$\begin{eqnarray*} s_n = \frac n 2 (a_1 + a_n) \end{eqnarray*}$

Danach musst du das Ergebnis aufgabengemäß auch mittels vollständiger Induktion zeigen.

mY+

14.10.2020, 14:17

Elvis

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Wenn du so gar nicht auf die Lösung kommst, dann sage ich dir, worum es geht, und du musst es nur noch durch vollständige Induktion beweisen.

Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist die n-te Quadratzahl.

Die Idee stammt übrigens von Pythagoras.

14.10.2020, 14:20

mYthos

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Schön wäre es gewesen, wenn vaultZ selbst darauf gekommen wäre ..

mY+

14.10.2020, 14:33

vaultZ

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Zitat:

Original von mYthos
Wenn du den vorletzten Post von Elvis nochmals ansiehst, merkst du, dass dein Ergebnis nicht stimmen kann ...
(Summenformel der arithmetischen Reihe)

$\begin{eqnarray*} s_n = \frac n 2 (a_1 + a_n) \end{eqnarray*}$

Danach musst du das Ergebnis aufgabengemäß auch mittels vollständiger Induktion zeigen.

mY+

Ok, ich glaube mein Problem ist, dass ich zwar den Beweis der vollständigen Induktion kenne und auch verstanden habe, allerdings habe ich hier ja nur eine Induktionsvoraussetzung. Die Behauptung fehlt mir ja, das ist ja so zusagen das Ergebnis der Summe.

Und um einen Beweis zu führen brauche ich ja beides.

Mir sagt der Begriff arithmetische Reihe absolut gar nichts. Wenn das die einzige Lösung ist, wie ich meine Induktionsbehauptung aufstellen kann, ist es kein Wunder, dass ich nicht weiß was ich machen soll.

Also muss ich mich mit arithmetischen Reihen beschäftigen, bevor ich die Aufgabe lösen kann?

14.10.2020, 14:51

mYthos

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Nein, musst du nicht.
Verwende den Hinweis von Elvis! $\begin{eqnarray*} s_n = n^2 \end{eqnarray*}$
Nun fange mit der vollst. Induktion an.

mY+

14.10.2020, 15:27

vaultZ

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Zitat:

Original von Elvis
Wenn du so gar nicht auf die Lösung kommst, dann sage ich dir, worum es geht, und du musst es nur noch durch vollständige Induktion beweisen.

Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist die n-te Quadratzahl.

Die Idee stammt übrigens von Pythagoras.

Wow ok, danke. Ohne den Tipp wäre ich nie drauf gekommen. Wie komme ich da hin, dass ich selber auf sowas komme? :S

Aber auch wichtig:
Ist es jetzt so korrekt ausgeführt?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} (2k+1) = n^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a(1): \sum\limits_{k=0}^{0} (2k+1) = 1^{2} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a(2): \sum\limits_{k=0}^{1} (2k+1) = 2^{2} = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (2k+1) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (2k+1) + (2(n)+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2} = n^{2} + 2n+1 \end{eqnarray*}$

Danke euch beiden, war ja ne schwere Geburt.

14.10.2020, 15:53

mYthos

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smile

mY+

14.10.2020, 16:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von vaultZ
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (2k+1) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (2k+1) + (2(n)+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2} = n^{2} + 2n+1 \end{eqnarray*}$

Formal richtig, aber ein kleiner Kommentar ist das Salz in der Suppe. smile

smile

14.10.2020, 17:23

vaultZ

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Edit (mY+): Vollzitat entfernt.

Meinst Du in die Richtung? Wie man auf (n+1)^2 kommt?
$\begin{eqnarray*} a(n):\sum\limits_{k=0}^{n} (2k+1) =(n+1)^{2}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a(n=0):\sum\limits_{k=0}^{0} (2k+1) =(0+1)^{2}=1 \end{eqnarray*}$

Das war nämlich der Teil den ich eher "intuitiv" bzw. durchs Ausprobieren dazu gebastelt habe und ich mir nicht so sicher war, wie ich das logisch schlussfolgern sollte. :S

Wenn nochmal so eine ähnliche Aufgabe kommt, könnte es sein, dass ich womöglich erstmal eine Mauer umschiffen muss...

14.10.2020, 17:42

mYthos

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Bitte verwende zur Antwort NICHT den Zitat-Button, es gibt auch den Antworten-Button.
Zitiere bitte nur, wenn es nötig ist und dies dann auch nur auszugsweise.
-------
Ich werde alle Vollzitate löschen.
-------
Zur Antwort auf deine Frage warte bitte auf klarsoweit.

mY+

14.10.2020, 18:21

Elvis

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Zitat:

Original von vaultZ
Wow ok, danke. Ohne den Tipp wäre ich nie drauf gekommen. Wie komme ich da hin, dass ich selber auf sowas komme? :S

Man könnte darauf kommen, indem man die ersten 6 Summen 1,4,9,16,25,36 berechnet. So werden Ideen geboren, und die Richtigkeit verbürgt die vollständige Induktion.

Pythagoras hatte die natürlichen Zahlen und die vollständige Induktion noch nicht, aber er hatte Freude am Spiel und die richtige Intuition. Man sieht, dass man vom Quadrat mit Seitenlänge n, also n², zum Quadrat (n+1)² kommt, indem man 2n+1 Punkte an den alten Seiten und eine neue Ecke hinzufügt.

19.10.2020, 07:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von vaultZ
Meinst Du in die Richtung? Wie man auf (n+1)^2 kommt?

Ein paar Kommentare zum Beweisverlauf sind durchaus hilfreich und erhöhen das Verständnis beim Leser:
Behauptung:
Für alle n aus N gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} (2k+1) = n^2 \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} n = 1: \sum\limits_{k=0}^{0} (2k+1) = 1 = 1^2 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:
Es gelte: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} (2k+1) = n^{2} \end{eqnarray*}$

Dann ist zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (2k+1) = (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (2k+1) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (2k+1) + (2n+1) \underbrace{=}_{I.V.} n^2 + 2n+1 = (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

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