Vektor und Orthonormalbasis von Vektorraum über C

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dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor und Orthonormalbasis von Vektorraum über C
für einen N-dim Vektorraum über mit einer Orthonormalbasis |i> (Ket-Schreibweise) kann man einen Vektor |A> schreiben als Summe von Basisvektoren
(1)
Die komplexen Zahlen sind die Komponenten des Vektors; soweit klar.

Warum lässt sich dieser Vektor auch schreiben als
(2) ?
Was genau ist im einzelnen bei dieser Schreibweise darunter zu verstehen, ggf. mit welchem Vorteil gegenüber (1), wenn man damit rechnet ?
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RE: Vektor und Orthonormalbasis von Vektorraum über C
Die Frage ist doch, wie man die Komponenten des Vektors bzgl. der gegebenen Basis bestimmt. Im Fall einer Orthonormalbasis ist das besonders einfach: , also das Skalarprodukt der Vektoren und .
Das sieht man einfach, wenn man von links mit multipliziert.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

ich war der Meinung, dass man die Komponenten doch kennt, nämlich

(3)
und genau diese würden dann in (1) Komponenten-weise mit der Basis |i> multipliziert - oder?

Außerdem habe ich doch bereits eine Orthonormalbasis, nämlich |i>, wozu brauche ich jetzt also noch eine 2., nämlich |j> ?
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Im Fall einer Orthonormalbasis haben diese Komponenten eben den Wert
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

deine Antwort verstehe ich nicht -
also ist A nicht so zu schreiben wie hier?



außerdem verstehe ich ehrlich gesagt nicht die Schreibweise


müsste es nicht heißen
?

sonst stünde doch für i=3 z.B da
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kann man schon so schreiben, wenn klar ist, auf welche Basis man sich bezieht.
Letztendlich steckt dann ein Isomorphismus zwischen dem N-dim VR und dem dahinter.
Ob man seine Basisvektoren oder nennt, ist belanglos.

Praktisch wird die erste Schreibweise, wenn man es mit überabzählbaren Basisvektoren zu tun hat, etwa wenn man in der Quantenmechnik den Zustand eines Systems (das ist ein Vektor in einem Hilbertraum) in Ortsdarstellung haben will. Das führt dann auf eine Darstellung der Art wobei über alle Ort summiert, de facto also integriert wird. Aber das ist eine andere Geschichte.
 
 
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, verstehe ich nicht.
Ich sehe nicht den Vorteil oder Nachteil, wenn man es schreibt wie in (1) oder (2),
ich verstehe nicht, warum man plötzlich noch ein |j> braucht,
und was es einfacher macht, wenn man erst das Innere Produkt < i|A> ausrechnet und dann nochmal von links mit |i> multipliziert statt von vornherein nur die Einzelkomponenten mit |i>
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dsyleixa
deine Antwort verstehe ich nicht -
also ist A nicht so zu schreiben wie hier?




Das ist die Darstellung in der kanonischen Basis.

Zitat:
Original von dsyleixa
außerdem verstehe ich ehrlich gesagt nicht die Schreibweise



Bei allgemeinen Orthonormalbasen kann man die Komponenten über das Skalarprodukt mit der Dualbasis bekommen, was ja in diesem Falle recht einfach folgt aus:



dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luftikus
Bei allgemeinen Orthonormalbasen kann man die Komponenten über das Skalarprodukt mit der Dualbasis bekommen, was ja in diesem Falle recht einfach folgt aus:





du schreibst "kann man die Komponenten .... bekommen",
aber laut (1) kenne ich doch schon alle , wozu also noch ausrechnen über das Innere Produkt?
Und wozu brauche ich dann noch ein "neues" |j> ?

und was ist dann das delta mit Doppelindex und wofür soll das gut sein?
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dsyleixa
aber laut (1) kenne ich doch schon alle , wozu also noch ausrechnen über das Innere Produkt?
Und wozu brauche ich dann noch ein "neues" |j> ?


Bei vorgegebener Basis und gegebenem A sind dann ja diese genau diese Skalarprodukte.
Hast du eine andere Basis, dann muss du die Komponenten in dieser anderen Basis berechnen.

Du kannst aber auch die Komponenten vorgeben und dann A berechnen. Was du willst und brauchst. smile
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

d.h., die Gleichung (2) ist nur dann notwendig, wenn ich den bekannten Vektor aus (1) bzw. (3) für eine andere Orthonormalbasis umrechnen will? (Davon war in dem Kapitel des Buches, aus dem das stammt, allerdings nicht die Rede.)
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@syleixa
Ich erkläre dir die Sache mal ausführlich:
--------------------------------------------------

Jeden Vektor A des Raumes kann man als Linearkombination einer beliebigen Basis darstellen:



Wenn man die zunächst unbekannten Koeffizienten berechnen will, muss man diese Gleichung nacheinander mit allen n Basisvektoren , ,..., ... skalar multiplizieren. Das ergibt folgendes lineares Gleichungssystem, dessen Lösung die n unbekannten Koeffizienten , , ..., sind:



Offenbar wird dieses Gleichungssystem besonders einfach, wenn die Basisvektoren orthonormal sind. In diesem Falle verschwinden nämlich in der Koeffizientenmatrix alle Nichtdiagonalelemente und die Diagonalelemente haben den Wert 1. Damit vereinfacht sich das Gleichungssystem zu



Darin kann man den Lösungsvektor (also die Koeffizienten) ohne Rechnung ablesen:

,
,
...


Wenn man diese Koeffizienten in die erste Gleichung einsetzt, bekommt man die Linearkombination



Wie gesagt - diese einfache Gestalt bekommt die Linarkombination nur, wenn eine Orthonormalbasis benutzt wird. Anderenfalls muss man das obige Gleichungssystem nach den Koeffizienten mittels Gaußschem Algorithmus lösen, was viel aufwendiger ist. Das ist die Motivation für die Benutzung orthonormaler Basen.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

dankeschön, für deine ausführliche Antwort!
Ich war allerdings davon ausgegangen, dass in (1) sowohl die ganzen samt zugehöriger Orthonormalbasis |i> bereits bekannt sind, warum dann also kompliziert umformen zu (2)?

Wenn ich tatsächlich auf eine andere Orthonormalbasis umformen wollte, ist das klar, aber dass das passieren soll, war nicht erwähnt worden.
Andererseits wurde ja auch in beiden Formeln (1) und (2) sogar dieselbe Orthonormalbasis |i> verwendet, also was hat sich geändert?
Wenn also in beiden Fällen dieselbe Orthonormalbasis , was ist dann der Vorteil von (2) gegenüber (1)? Lässt es sich dann irgendwie einfacher "berechnen", und was wäre überhaupt noch zu berechnen, wo ich doch eigentlich schon alles weiß über |A> und alle )?
DAS ist es, was ich nicht verstehe.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Mal abgesehen davon, dass es eben eine in der Physik verbreitete Schreibweise ist, erleichtert sie die Buchhaltung, wenn man mehrere Vektoren betrachtet. Statt sich jedesmal eine Bezeichnung für die Komponenten zu überlegen schreibt man das Skalarprodukt..
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dsyleixa
Wenn also in beiden Fällen dieselbe Orthonormalbasis , was ist dann der Vorteil von (2) gegenüber (1)? Lässt es sich dann irgendwie einfacher "berechnen", und was wäre überhaupt noch zu berechnen, wo ich doch eigentlich schon alles weiß über |A> und alle )?
DAS ist es, was ich nicht verstehe.


Der Vorteil liegt in einem Kalkül, der sich mit beliebigen VONS darstellen lässt.
Man fügt hierzu den Einheitsoperator ein:



Für einen linearen Operator L bekommt man dann eine Darstellung in der Dualbasis:

dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luftikus
Zitat:
Original von dsyleixa
Wenn also in beiden Fällen dieselbe Orthonormalbasis , was ist dann der Vorteil von (2) gegenüber (1)? Lässt es sich dann irgendwie einfacher "berechnen", und was wäre überhaupt noch zu berechnen, wo ich doch eigentlich schon alles weiß über |A> und alle )?
DAS ist es, was ich nicht verstehe.


Der Vorteil liegt in einem Kalkül, der sich mit beliebigen VONS darstellen lässt.
Man fügt hierzu den Einheitsoperator ein:



Für einen linearen Operator L bekommt man dann eine Darstellung in der Dualbasis:



was ein Kalkül, ein VONS und eine Dualbasis ist, verstehe ich (noch) nicht, hier ist ja auch das Unterforum "Schulmathematik"
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Mal abgesehen davon, dass es eben eine in der Physik verbreitete Schreibweise ist, erleichtert sie die Buchhaltung, wenn man mehrere Vektoren betrachtet. Statt sich jedesmal eine Bezeichnung für die Komponenten zu überlegen schreibt man das Skalarprodukt..


ok, das mit "erleichtert die Buchhaltung" ist ein Argument ;-)
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

- doppelt -
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos
@syleixa
Ich erkläre dir die Sache mal ausführlich:
--------------------------------------------------

Jeden Vektor A des Raumes kann man als Linearkombination einer beliebigen Basis darstellen:



Wenn man die zunächst unbekannten Koeffizienten berechnen will, muss man diese Gleichung nacheinander mit allen n Basisvektoren , ,..., ... skalar multiplizieren. Das ergibt folgendes lineares Gleichungssystem, dessen Lösung die n unbekannten Koeffizienten , , ..., sind:



Offenbar wird dieses Gleichungssystem besonders einfach, wenn die Basisvektoren orthonormal sind. In diesem Falle verschwinden nämlich in der Koeffizientenmatrix alle Nichtdiagonalelemente und die Diagonalelemente haben den Wert 1. Damit vereinfacht sich das Gleichungssystem zu



Darin kann man den Lösungsvektor (also die Koeffizienten) ohne Rechnung ablesen:

,
,
...


Wenn man diese Koeffizienten in die erste Gleichung einsetzt, bekommt man die Linearkombination



Wie gesagt - diese einfache Gestalt bekommt die Linarkombination nur, wenn eine Orthonormalbasis benutzt wird. Anderenfalls muss man das obige Gleichungssystem nach den Koeffizienten mittels Gaußschem Algorithmus lösen, was viel aufwendiger ist. Das ist die Motivation für die Benutzung orthonormaler Basen.


Beim nochmal Durchlesen sind mir noch ein paar Dinge aufgefallen, die etwas verwirrend sind.
Auch "Orthonormalbasis für einen Vektorraum über C" war noch kein Thema in meiner "Schulmathematik", bislang kenne ich nur eine orthogonale Vektorbasis für den R³, daher ist das auch noch einigermaßen Neuland für mich.

Zunächst finde ich die ursprügliche von mir selber aus dem Originalartikel übernommene Bezeichnung |i> für die Orthonormalbasis und i als Zählindex verwirrend, denn
1.) kann das mit komplexen Funktionen zu Verwechslung mit i (imag. Einh.) führen;
2.) wäre für eine Orthonormalbasis nicht sinnvoller, denn es handelt sich ja um n verschiedene Basisvektoren; und
3.) die Zählindizes könnte man dann ja mit k bezeichnen;
Frage: würde dann der Lösungsvektor stattdessen so aussehen?
,
,
...


Jetzt zu deinen Matrizen:
Ist es richtig, dass in

- und entsprechend auch bei allen einzelnen Basisvektoren - immer eine 1 in der Diagonale steht und nicht eher jeweils (1,i)? // i : imag. Einh.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@syleixa
-------------------------------------------------------------------------------------------
Deine Frage 1:
Zitat "Ich war allerdings davon ausgegangen, dass in (1) sowohl die ganzen ±i samt zugehöriger Orthonormalbasis |i> bereits bekannt sind, warum dann also kompliziert umformen zu (2)?"

Zitat: "...was ist dann der Vorteil von (2) gegenüber (1)? Lässt es sich dann irgendwie einfacher "berechnen", und was wäre überhaupt noch zu berechnen, wo ich doch eigentlich schon alles weiß über |A> und alle ±i )?


Zitat: "Andererseits wurde ja auch in beiden Formeln (1) und (2) sogar dieselbe Orthonormalbasis |i> verwendet, also was hat sich geändert?
Wenn also in beiden Fällen dieselbe Orthonormalbasis ,
DAS ist es, was ich nicht verstehe."
"

Antwort 1:
Wenn in Formel (1) die Koeffizienten schon bekannt sind, ist alles gesagt und man muss man nicht mehr rechnen. Wenn Sie nicht bekannt sind, lauten diese Koeffizienten im Falle einer bei einer Orthonormalbasis wie gesagt . Beim Übergang von deiner Formel (1) zu (2) hat sich also "nichts geändert".
Wenn man übrigens keine Orthonormalbasis hat, sondern "nur" eine Orthogonalbasis, dann ist die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems ebenfalls diagonal, aber in der Diagonalen stehen anstelle der Werte 1 die Betragsquadrate der Basisvektoren. Folglich lauten die Koeffizienten dann . Übrigens gibt es unendlich viele verscheidene Orthonormalbasen. Es muss also nicht die Standadbasis sein, sondern irgendwelche senkrechten und auf 1 normierten Basisvektoren.
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Deine Frage 2:
Zitat "Beim nochmaligen Durchlesen sind mir noch ein paar Dinge aufgefallen, die etwas verwirrend sind.
Auch "Orthonormalbasis für einen Vektorraum über C" war noch kein Thema in meiner "Schulmathematik", bislang kenne ich nur eine orthogonale Vektorbasis für den R³, daher ist das auch noch einigermaßen Neuland für mich."

Antwort 2:
Der Übergang vom 3-dimensionalen Raum zum n-dimensionale Raum enthält keine neuen Gesichtspunkte. Alle Betrachtungen und Rechnung sind unabhängig von der Dimension identisch (im Prinzip).
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Deine Frage 3:
Zitat "Kann das mit komplexen Funktionen zu Verwechslung mit i (imag. Einh.) führen?"

Antwort 3:
Ja, man sollte besser den Index k verwenden, um Verwechlungen mit der imaginären Einheit auszuschließen.
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Deine Frage 4:
Zitat "Wäre für eine Orthonormalbasis nicht |bn> sinnvoller, denn es handelt sich ja um n verschiedene Basisvektoren?"

Antwort 4:
Ja, aus meiner Sicht wäre es auch sinnvoller, nicht nur die Indizes der Basisvektoren zu schreiben, sondern besser den gesamten Basisvektor

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dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Antworten!

stehen denn nun bei den orthonormalen Basisvektoren immer eine reelle 1 in der k.Stelle oder eine imaginäre Zahl (1,i) ?
und diese Basisvektoren sind es doch aus, die in dieser Matrix in der Mitte quasi nebeneinander stehen, oder?
Also wenn orthonormal und diagonalisiert hier:



wodurch das dann auch dafür gelten würde?

und last but not least,
warum schreibst du und nicht ?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

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Deine Frage 1:
Zitat: "Stehen bei den orthonormalen Basisvektoren immer eine reelle 1 in der k.Stelle oder eine imaginäre Zahl (1,i) ?
und diese Basisvektoren sind es doch aus, die in dieser Matrix in der Mitte quasi nebeneinander stehen, oder?"

Antwort 1:
Wenn die Basisvektoren orthonormal sind, dann hat die Koeffizientenmatrix desjenigen Gleichungssystems, dessen Lösung die Koeffizienten sind, folgende Gestalt



Also - in der Hauptdiagonalen stehen die reellen Werte 1. Alle anderen n²-n Matrixelemente sind Null. Das gilt auch für Orthonormalbasen in komplexen Räumen.

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Deine Frage 2:
Warum schreibst du für den Basisvektor und nicht ?

Antwort 2:

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Basisvektoren zu schreiben:

Variante 1: (=Schreibweise mit Vektorpfeil wie in der Schule)
Variante 2: (=Schreibweise ohne Vektorpfeil wie an der Universität)
Variante 3: (=Schreibweise von P.D.Dirac - oft verwendte in der Quantenmechanik)
Variante 4: (=kurze Schreibweise von P.MDirac - nur mit Index)
usw.

Die Wahl der Schreibweise ist völlig nebensächlich. Suche dir die für dich angenehmste Schreibweise aus und konzentriere dich mehr auf die Inhalte.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos
Also - in der Hauptdiagonalen stehen die reellen Werte 1. Alle anderen n²-n Matrixelemente sind Null. Das gilt auch für Orthonormalbasen in komplexen Räumen.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Basisvektoren zu schreiben:

Variante 1: (=Schreibweise mit Vektorpfeil wie in der Schule)
Variante 2: (=Schreibweise ohne Vektorpfeil wie an der Universität)
Variante 3: (=Schreibweise von P.D.Dirac - oft verwendte in der Quantenmechanik)
Variante 4: (=kurze Schreibweise von P.MDirac - nur mit Index)
usw.

Die Wahl der Schreibweise ist völlig nebensächlich. Suche dir die für dich angenehmste Schreibweise aus und konzentriere dich mehr auf die Inhalte.


danke!
hatte mich nur verwirrt, weil bislang hier nur Dirac verwendet wurde, und ich dachte, das würde nun etwas anderes bedeuten.

bei Variante 4 meinst du sischerlich , das ist aber auch klar jetzt soweit.
Nochmals vielen Dank!
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