Partitionen von Teilmengen bestimmen

15.10.2020, 15:36

rafael_f

Partitionen von Teilmengen bestimmen

Meine Frage:
Aufgabe:
Bestimme alle (und nicht nur einige) Partitionen der folgenden Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ : {1}, {1, 2} und {1, 2, 3}. Gib auch alle Äquivalenzrelationen auf diesen Mengen an.

Problem:
Mir ist aber daraufhin aufgefallen, dass egal welches Q ich probiere zu bilden, die Bedingungen einer Partition wird immer verletzt sein, da die Vereinigung zweiter Elemente von Q nie {} sein wird.

Übersehe ich etwas? Ich bitte um Hilfe.

Meine Ideen:

Ansatz:
Zuerst habe ich mir nochmal überlegt, was eine Partition Q überhaupt ist.
* $\begin{eqnarray*} Q \subseteq Potenzmenge\:P(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$
wenn folgende Bedingungen gelten:

(1) Jedes Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist in einem Element von Q enthalten.
(2) Zwei Elemente von Q sind entweder gleich oder disjunkt
(3) Jedes Element von Q ist nichtleer

Um mir die P( $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ) leichter aufbauen zu können, habe ich festgelegt {1} = a, {1, 2} = b und {1, 2, 3} = c. Also:
P( $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ) = {{}, a, b, c, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}

Willkommen im Matheboard!
Ich hab den LaTeX-End-Tag korrigiert (/latex statt \latex).
Viele Grüße
Steffen

15.10.2020, 15:49

Helferlein

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RE: Partitionen von Teilmengen bestimmen

Zitat:

Original von rafael_f
... , da die Vereinigung zweiter Elemente von Q nie {} sein wird...

Wo wird denn deiner Meinung nach gefordert, dass sich die leere Menge als Vereinigung zweier Elemente aus Q darstellen lässt?

15.10.2020, 15:53

HAL 9000

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Dein $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist eine unglückliche Symbolwahl, da alle Welt das mit der Gesamtmenge der natürlichen Zahlen assoziiert...

Zitat:

Original von rafael_f
P( $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ) = {{}, a, b, c, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}

Das ist falsch. Wenn du die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} M=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ mittels deiner $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ ausdrücken willst, dann so:

$\begin{eqnarray*} P(M) = \left\{ \{\}, a, b, c, a\cup b, b\cup c, a\cup c, a\cup b\cup c\right\} \end{eqnarray*}$ .

So wie du es geschrieben hast, ist nämlich $\begin{eqnarray*} \{a,b\} = \{\{1\},\{2\}\} \end{eqnarray*}$ , wir benötigen aber $\begin{eqnarray*} \{1,2\} = a\cup b \end{eqnarray*}$ in der Potenzmenge, usw.

Um zum eigentlichen Thema zurückzukommen: Die möglichen Partitionen dieses $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sind

$\begin{eqnarray*} \{a,b,c\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{a\cup b,c\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{a\cup c,b\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{b\cup c,a\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{a\cup b\cup c\} \end{eqnarray*}$ ,

also insgesamt fünf.

19.10.2020, 23:21

RomanGa

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Partitionen
Hallo HAL 9000, meines Erachtens sind deine Partitionen von M = {1, 2, 3} falsch. Die Partitionen sind laut [URL=https://de.wikipedia.org/wiki/Partition_(Mengenlehre)]:
Siehe Bild im Anhang.
Du schlägst hingegen als Partition unter Anderem vor {a, b, c} = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}.

20.10.2020, 08:31

Leopold

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Vermutlich ist HAL von $\begin{align*} a = \{ 1 \}, \, b = \{ 2 \}, \, c = \{ 3 \} \end{align*}$ ausgegangen. Du hattest die drei Mengen zugegebenermaßen anders festgelegt. Deine Festlegung paßt allerdings gar nicht zu der von dir im Eröffnungsbeitrag angegebenen Potenzmenge, selbst wenn man Schreibfehler zugesteht.

20.10.2020, 09:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Vermutlich ist HAL von $\begin{align*} a = \{ 1 \}, \, b = \{ 2 \}, \, c = \{ 3 \} \end{align*}$ ausgegangen.

Alllerdings, da muss ich wohl meine Brille putzen. Die Festlegung $\begin{eqnarray*} b = \{ 1,2 \}, \, c = \{ 1,2,3 \} \end{eqnarray*}$ als Grundelemente kam mir vermutlich so absurd vor, dass ich sie gleich ausgeblendet hatte. Augenzwinkern

20.10.2020, 12:44

RomanGa

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Partitionen
Hallo Leopold, ich bin nicht der Fragesteller, und habe den Eröffnungsbeitrag nicht geschrieben, und a, b, c nicht festgelegt.

20.10.2020, 12:47

RomanGa

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RE: Partitionen
Sorry, in meinem Beitrag von gestern stand ich mit dem Hyperlink auf Kriegsfuß. Hier ein neuer Versuch: https://de.wikipedia.org/wiki/Partition_(Mengenlehre).

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