Momente Chi-Quadrat Verteilung

18.10.2020, 16:48	chichi1312	Auf diesen Beitrag antworten »
Momente Chi-Quadrat Verteilung Hey, ich versuche mich gerade an dieser Übungsaufgabe und habe auch schon alles gezeigt bis auf das gelb Markierte. Um ehrlich zu sein, habe ich keinen Versuch, da ich nicht weiß, womit ich beginnen soll... Hat jemand von euch eine Idee? [attach]52023[/attach]
19.10.2020, 12:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} X = \mu + \sigma X \end{eqnarray}$ mit einem standardnormalverteilten Vektor $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Es folgt $\begin{eqnarray} \exp\left(\varrho \|Y\|^2 \right) = \exp\left(\varrho Y^T Y \right) = \exp\left(\varrho \left(\mu^T\mu + 2\sigma\mu^T X + \sigma^2 X^T X \right) \right) = \exp\left(\varrho \left(\|\mu\|^2 + 2\sigma \mu^T X + \sigma^2\|X\|^2 \right) \right) \end{eqnarray}$ . Der Erwartungswert davon (d.h. über die Standardnormalvektorverteilung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ integriert) ergibt $\begin{eqnarray} \frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}} \exp\left(\varrho \|\mu\|^2\right) \prod_{k=1}^d \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{x_k^2}{2} + \varrho\sigma^2 x_k^2 + 2\varrho\sigma\mu_k x_k \right) ~ \dd x_k \end{eqnarray}$ Dieses Integral hinten gilt es noch auszuwerten. Dabei hilft es, dass der Integrand (bis auf einen korrigierenden Faktor) auch wieder der Dichte einer eindimensionalen Normalverteilung $\begin{eqnarray} \mathcal{N}\left(a_k,b_k^2\right) \end{eqnarray}$ entspricht, und zwar mit $\begin{eqnarray} b_k^2 = \frac{1}{1-2\varrho\sigma^2} \end{eqnarray}$ und einem $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ , welches dann noch über die passende quadratische Ergänzung ausgerechnet werden kann. P.S.: Die Anmerkung mit "derive the multi-dimensional version OF (2.27)" verstehe ich nicht: (2.27) IST doch bereits die $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ -dimensionale Variante!

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