Lebesgue's Konvergenzsatz

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Mathstd3 Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue's Konvergenzsatz
Hallo liebes Forum,
gegeben ist eine Folge von Zufallsvariablen , die i.i.d sind.

Betrachte folgende Partialsummenfolge:

wobei n P.f.s gegen eine Konstante z konvergiert für n nach unendlich
Ich will nun den Grenzwert für von für n nach unendlich berechnen.

Ich will dabei limes und Reihe tauschen.

Für die Anwendung von Lebesgue's Konvergensatz muss eine Zufallsvariable sein, die in Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable konvergiert. Majorisierbar ist im Sinne des Satzes.

Oder brauche ich am Ende den Satz gar nicht, da ich wegen dem Indikator nur endlich viele Summanden habe?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Steht da wirklich im Summanden (nicht etwa ) ? Dann kann man doch dieses aus der Summe (bzw. Reihe) herausziehen, für die verbleibende reelle (nichtzufällige!) Reihe gilt im Fall schlicht wegen des i.i.d.

für ,

insgesamt also .

P.S.: Technisch gesehen liegt eine Majorisierung für alle vor, da ja für alle gilt.
Mathstd3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab einen Index vergessen. Es sollte sein.

Ich frage mich ob ich nicht einfach Limes und Summe(!) tauschen darf, da ich eigentlich nur endlich viele Summanden habe.
Mathstd3 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ändert sich also, wenn das K vom Summenindex abhängt HAL?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du sonst noch was falsch dargestellt oder vergessen? Was weiß man z.B. über dieses ? Wenn beispielsweise ist, dann taucht für der Wert mit negativem Index auf, bzw. für dann ebenfalls mit negativem Index. Da fragt man sich schon, bei welchem Index die Folgen bzw. losgehen...
Mathstd3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt. Vor lauter Fixierung auf Tauschen von Limes und Reihe hab ich einiges falsch gemacht:

für

Die Frage, die sich mir stellt, ist, ob ich überhaupt Lebesgue brauche?
Ich kann doch den limes einfach in die endliche Summe ziehen?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathstd3
Ich kann doch den limes einfach in die endliche Summe ziehen?

Das geht so einfach nur, wenn die Summe eine VON UNABHÄNGIGE endliche Summandenanzahl hat. Das ist hier aber nicht der Fall.
Mathstd3 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar danke smile
Majorisierbar ist das ganze auf jeden Fall.
Man braucht jedoch den Grenzwert von der in Wahrscheiinlichkeit gegen eine Zufallsvariable konvergieren muss als Voraussetzung für Lebesgue. Wie sieht man das ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht genau, was du mit Lebesgue's Konvergenzsatz meinst (ist für mich zu lange her, und wenn ich mich recht erinnere, gab es da mehr als einen auf Lebesgue getauften Satz in diesem Umfeld).

Wenn es nur um die Existenz von geht: Für diejenigen "fast alle" , für die wir wissen, sollte auf herkömmlichen (deterministischen) Weg der Grenwert nachweisbar sein, etwa über die Abschätzung

,

wobei ich die Abkürzung verwende. Mit ein wenig "Epsilontik" kann man nachweisen, dass es für jedes ein gibt, so dass die rechte Seite von (*) für alle nach oben durch abgeschätzt werden kann. Vermutlich agiere ich auf diese Weise überumständlich, weil es womöglich irgendeinen Konvergenzsatz gibt, der dieses Szenario abdeckt, mir momentan aber nicht einfallen will. Augenzwinkern
Mathstd3 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Anwort. Ich beziehe mich auf den Satz von der majorisierten Konvergenz. Bei uns hieß der Lebesgue'scher Konvergenssatz. Da ich keine Links posten kann, kannst du vllt auf Wiki in dem Abschnitt für Zufallsvariablen schauen.

Denkst du dieser ist hier anwendbar?
Dann könnte man sich dieses tolle Epsilontik sparen smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Auf welche Zufallsgrößen willst du den anwenden - auf die ? Wüsste jetzt nicht, welche dann als Voraussetzung nötige obere Schranke der man da wählen kann. Wenn als Zusatzvoraussetzungen die f.s. Konvergenz der gleichmäßig wäre, ja dann... Aber so wüsste ich nicht, wie man das anstellen soll. verwirrt
Mathstd3 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man nicht wie folgt abschätzen
für z>0 P.f.s


Würde das nicht genügen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso soll das vorletzte gelten? Die bloße Konvergenz von gegen heißt doch nicht . verwirrt


Nehmen wir mal an, wir betrachten sowie . Dann gilt für jedes sicher (d.h. ), dennoch ist aber über gesamt betrachtet jedes einzeln unbeschränkt - solche u.ä. sind es, die mir hier Sorgen machen.
Mathstd3 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt du hast Recht. Dann muss es wohl mit dem Epsilon gehen. Wie würdest du das wählen damit die Differenz kleiner epsilon bleibt
Mathstd3 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat folgende Gestalt:

mit

Ich habe vllt noch an Beppo Levi gedacht. Dann müsste das K jedoch monoton wachsend sein. Das ist doch nicht der Fall.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit haben wir doch diese gleichmäßige Beschränktheit. Immer diese tröpfchenweise preisgegebenen Informationen - da hab ich mir völlig umsonst einen Ast gerechnet. unglücklich
Mathstd3 Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid. Warum ist denn dann gleichmäßig beschränkt.
Mathstd3 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst wsl die gleichemäßige Konvergenz von P.f.s gegen z. Dann gilt doch mein Satz.
Mathstd3 Auf diesen Beitrag antworten »

HAL, kannst du mir bitte erklären, wie ich jetzt sauber agumentieren kann zwecks Limes und Reihenvertauschung.
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