Basiswechselmatrix

19.10.2020, 15:36

MaPalui

Basiswechselmatrix

Hallo ihr lieben smile

ich weiß nicht woran es liegt, aber ich verstehe einfach das Thema des Basiswechsels nichts. Hoffe, ihr könnt mir hier auf die Sprünge helfen smile

ich würde dabei mal ganz vorne anfangen von dem, wie ich es verstehe. Hoffe, das ist so ok.

Mein Verständnis:
Seien $\begin{eqnarray*} V,W \end{eqnarray*}$ zwei endlich-dimensionale Vektorräume. Sei $\begin{eqnarray*} B = \left\{ v_1,\dots, v_n\right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von V und $\begin{eqnarray*} C=\left\{ w_1, \dots, w_n\right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von W.

Sei $\begin{eqnarray*} v_B = (x_1, \dots, x_n)\in V \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ entspricht in Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ also der Linearkombination $\begin{eqnarray*} x_1v_1 + \dots + x_nv_n \end{eqnarray*}$ .
Nun möchte ich also $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ als Linearkombination aus Elementen aus $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ darstellen, also $\begin{eqnarray*} v_C = (y_1w1 + \dots + y_nw_n) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz wäre nun, eine Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu finden, sodass: $\begin{eqnarray*} M\cdot v_B = v_C \end{eqnarray*}$

Falls das so korrekt ist, dazu ein Beispiel:

Seien $\begin{eqnarray*} B= \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C= \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

Nun suche ich also die Basiswechselmatrix M von B nach C.

Ist nun mein Ansatz der Richtige, wenn ich $\begin{eqnarray*} M\cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ löse?

Seht es mir bitte nach, dass ich so spitz danach frage. Ich habe wirklich viele Beispiele gelesen, aber wirklich verinnerlicht habe ich das nicht.

LG
Eure Maren

19.10.2020, 16:07

Elvis

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Basiswechsel ist der Wechsel von einer Basis B von V zu einer Basis C von V. Eine lineare Abbildung von V nach W ist kein Basiswechsel.

19.10.2020, 16:19

MaPalui

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Hallo Elvis

vielen Dank für deine Zeit. Wenn ich dich richtig verstehe liegt der Fehler in meinem Ansatz? Ist denn die von mir angegebene Matrix korrekt, wenn ich den entsprechenden Wechsel beschreiben möchte?

19.10.2020, 18:21

Elvis

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Dein Ansatz kann nicht richtig sein, wie ich schon sagte. Auch deine Rechnung ist falsch, selbst wenn man einen Basiswechsel in V betrachtet. Raten ist keine gute Strategie für Lineare Algebra. Wie es richtig geht, lernt man in der Vorlesung, aus jedem Buch oder sehr einfach hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)

19.10.2020, 19:25

MaPalui

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Ok danke

19.10.2020, 19:39

Elvis

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Falls du dein Beispiel mit $\begin{eqnarray*} B=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\},C=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ nachrechnen möchtest, sollten sich die Matrizen $\begin{eqnarray*} M_C^B=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix},M_B^C=(M_C^B)^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ergeben. Die 1. Matrix stellt die Identität in $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ dar und enthält als Spalten die Bilder der Basisvektoren aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , die 2. Matrix stellt die Identität in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ dar und enthält als Spalten die Bilder der Basisvektoren aus $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

19.10.2020, 19:59

Finn_

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Das trifft sich gut. Würdest du mir Feedback auf meine Folien geben? Die hier:

"Was ist ein Basiswechsel"

19.10.2020, 20:09

MaPalui

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Zitat:

Original von Elvis
Falls du dein Beispiel mit $\begin{eqnarray*} B=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\},C=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ nachrechnen möchtest, sollten sich die Matrizen $\begin{eqnarray*} M_C^B=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix},M_B^C=(M_C^B)^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ergeben. Die 1. Matrix stellt die Identität in $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ dar und enthält als Spalten die Bilder der Basisvektoren aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , die 2. Matrix stellt die Identität in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ dar und enthält als Spalten die Bilder der Basisvektoren aus $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} M^B_C \end{eqnarray*}$ mache ich den Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und bringe die linke Blockmatrix auf $\begin{eqnarray*} \mathbb E_n \end{eqnarray*}$ . Dadurch erhalte ich genau die Transponierte verwirrt

19.10.2020, 21:13

Elvis

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Warum machst du so unmotivierte Operationen? Wäre es nicht besser, etwas sinnvolles zu tun?

23.10.2020, 11:30

Elvis

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Zitat:

Original von Finn_
Das trifft sich gut. Würdest du mir Feedback auf meine Folien geben? Die hier:

"Was ist ein Basiswechsel"

Vielleicht ist das etwas zu viel Aufwand, denn im Grunde genommen ist bei Wikipedia schon alles gesagt.
Gegeben zwei Basen $\begin{eqnarray*} \{a_1,a_2\},\{b_1,b_2\} \end{eqnarray*}$ eines beliebigen 2-dimensionalen $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Dann hat jeder Vektor eine eindeutige Basisdarstellung (in jeder Basis), also insbesondere
$\begin{eqnarray*} a_1=\alpha_{11}b_1+\alpha_{21}b_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2=\alpha_{12}b_1+\alpha_{22}b_2 \end{eqnarray*}$
Die Koeffizienten bekommt man für Komponentenvektoren durch lösen dieses LGS, und wegen $\begin{eqnarray*} \iota(a)=A\cdot a \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \alpha_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Basiswechselmatrix. Dasselbe Verfahren funktioniert genau so für n-dimensionale $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorräume.
Bedenke, dass jeder Basisvektor $\begin{eqnarray*} x=1\cdot x \end{eqnarray*}$ in der ihm eigenen Basis ein Einheitsvektor ist. Eine spezielle Einheitsbasis oder Standardbasis gibt es also eigentlich gar nicht, und sie ist jedenfalls nicht auf den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ beschränkt. Jede Basis ist "für sich" die Standardbasis. Die Standardbasis im cartesischen Koordinatensystem scheint etwas ganz Besonderes zu sein, sie ist aber in Wirklichkeit nur eine spezielle Darstellung einer beliebigen Basis.

26.10.2020, 12:10

RomanGa

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Hallo Elvis, meines Erachtens ist deine Matrix $\begin{eqnarray*} M^B_C \end{eqnarray*}$ falsch. Korrekt wäre
$\begin{eqnarray*} M^B_C = \begin{pmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
was ich dank Wikipedia berechnet und am Beispiel geprüft habe.

26.10.2020, 18:15

Elvis

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Zitat:

Original von RomanGa
Hallo Elvis, meines Erachtens ist deine Matrix $\begin{eqnarray*} M^B_C \end{eqnarray*}$ falsch. Korrekt wäre
$\begin{eqnarray*} M^B_C = \begin{pmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
was ich dank Wikipedia berechnet und am Beispiel geprüft habe.

Stimmt genau. Nach meinem Kochrezept ist $\begin{eqnarray*} M^B_C = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Du hast den "Test" bestanden. Augenzwinkern

(Mit anderen Worten: ich habe Mist gebaut.) Die Reihenfolge der Spalten ist abhängig von der Nummerierung der Basisvektoren, man nummeriert sie gewöhnlich von links nach rechts.

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