Aussage über Quadratwurzel

19.10.2020, 20:13

JAY PARK

Aussage über Quadratwurzel

Meine Frage:
Die Quadratwurzel aus einer Quadratzahl ist eine Natürliche Zahl.

Würde diese Aussage stimmen oder falsch sein?

Meine Ideen:
Ich würde sagen es ist falsch, weil man aus einer negativen Zahl die Wurzel nicht ziehen kann?

Wäre dankbar für eine Antwort mit Erklärung smile

19.10.2020, 21:05

Steffen Bühler

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RE: Aussage über Quadratwurzel
Deine Idee kann ich nicht nachvollziehen. Quadratzahlen sind doch niemals negativ.

Viele Grüße
Steffen

19.10.2020, 21:12

JAY PARK

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RE: Aussage über Quadratwurzel
ALSO WIE SOLL ICH DIE AUSSAGE RICHTIG STELLEN?

Bin bisschen verzweifelt hier unglücklich

19.10.2020, 21:14

Steffen Bühler

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RE: Aussage über Quadratwurzel
Wie habt Ihr denn Quadratzahlen definiert?

19.10.2020, 21:28

JAY PARK

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RE: Aussage über Quadratwurzel
Danke Herr Bühler für nix unglücklich

Ich gehe nicht in die Schule ich versuche Kinder zu helfen mit dem Wissen das ich habe. Wenn hier keiner ist der meine Frage beantworten kann, dann bedauere ich das sehr weil man hier normalerweise hilfsbereite Menschen trifft. Auf Fragen mit Gegenfragen zu beantworten bringt mir genau 0. Bin halt neu in dem Themengebiet traurig

19.10.2020, 21:39

Steffen Bühler

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RE: Aussage über Quadratwurzel
Du bist hier in einem Nachhilfeforum gelandet. Wie Du in unserem Boardprinzip nachlesen kannst, geben wir hier keine fertigen Antworten, sondern erarbeiten die Lösung zusammen mit dem Fragesteller. Dabei bleiben beide Seiten höflich und geduldig. Genauso, wie Du es ja wohl auch mit den Kindern machst, denen Du hilfst.

Gut, dann müsstest Du jetzt diese Kinder fragen, wie sie Quadratzahlen definiert haben. Wird in ihren Heften und Büchern stehen. Oder Ihr schaut gemeinsam bei Wikipedia nach.

19.10.2020, 21:42

Finn_

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Definition. Seien $\begin{eqnarray*} a,w \end{eqnarray*}$ nichtnegative reelle Zahlen. Man nennt $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ genau dann die Quadratwurzel von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} w^2=a \end{eqnarray*}$ gilt.

Definiton. Eine Zahl $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist genau dann eine Quadratzahl, wenn es eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gibt, die $\begin{eqnarray*} z^2=q \end{eqnarray*}$ erfüllt.

19.10.2020, 22:23

Finn_

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1. Prämisse: $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist eine Quadratzahl.

2. Prämisse: $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ist die Quadratwurzel von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ .

Behauptung: $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ist eine nichtnegative ganze Zahl.

Beweis.

3. Es gibt eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q=z^2 \end{eqnarray*}$ . (Gemäß 1. und Def.)

4. $\begin{eqnarray*} w^2=q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w\ge 0 \end{eqnarray*}$ . (Gemäß 2. und Def.)

5. Es gibt eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w^2=z^2 \end{eqnarray*}$ . (Gemäß 3. und 4.)

6. Es gibt die nichtnegative ganze Zahl $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ . (5. und $\begin{eqnarray*} w:=|z| \end{eqnarray*}$ )

7. Die Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ ist für nichtnegative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend und somit injektiv.

8. Außer $\begin{eqnarray*} w=|z| \end{eqnarray*}$ ist kein anderes $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ zu finden. (6., 7.)

q.e.d.

20.10.2020, 08:08

klarsoweit

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RE: Aussage über Quadratwurzel

Zitat:

Original von JAY PARK
Auf Fragen mit Gegenfragen zu beantworten bringt mir genau 0.

Ohne Gegenfragen geht es mitunter leider nicht. Beispielsweise könnte 2,25 eine Quadratzahl sein. Immerhin ist es das Quadrat von 1,5 . Oder 0 ist die Wurzel von 0. Wurde aber die Null bei der Definition der natürlichen Zahlen hinzugenommen? Das sind Fragen, die müssen erst einmal geklärt sein, bevor man eine korrekte Antwort liefern kann. Und das ist ja auch offensichtlich der Sinn der Aufgabe: sich mit mathematischen Begriffen und deren Definition auseinanderzusetzen. smile

20.10.2020, 09:30

Elvis

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Später lernen vielleicht auch Kinder einmal, dass $\begin{eqnarray*} i=\sqrt {-1} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} i^2 =-1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} - 1 \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl und deren Wurzeln mitnichten natürliche Zahlen sind. Man sollte Kinder nicht am Lernen hindern indem man ihnen das Denken verbietet und Unsinn beibringt.

20.10.2020, 11:01

Dopap

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Kein Freund bin ich von $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ ohne näheren Zusammenhang.

Würde aber sagen: Es gibt in der Mathematik Zahlen deren Quadrat negativ ist.

Nebenbei : Was ist in der Frage mit Quadratzahl gemeint?

20.10.2020, 11:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
Nebenbei : Was ist in der Frage mit Quadratzahl gemeint?

Vorsicht! Willst du vom Threadersteller genauso angekläfft werden wie Steffen, der diese an sich harmlose Nachfrage ja auch schon gestellt hatte? smile

20.10.2020, 11:13

Elvis

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Umfassende und einfache Antwort: Jede Zahl ist Quadratzahl, jede Zahl außer 0 hat genau zwei verschiedene Quadratwurzeln, die Quadratwurzel von 0 ist 0. Wer detaillierte Antworten haben möchte, muss die Zahlenbereiche genauer spezifizieren, auf die sich die Frage bezieht.

20.10.2020, 11:15

Leopold

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Wollen wir doch einmal festhalten, daß nach allgemeinem Sprachgebrauch die Quadratzahlen gerade die Quadrate der natürlichen Zahlen, wer will, auch der ganzen Zahlen sind. Über die Rolle der 0 kann man wie immer auch in dieser Situation trefflich streiten. Ist aber hier nicht wichtig. Alle anderen Auffassungen halte ich für an den Haaren herbeigezogen. Was Elvis manchmal reitet, weiß ich nicht so recht. Sind seine Beiträge Imaginationen einer besseren Welt, Verstiegenheiten eines Privatgelehrten oder einfach nur Satire?

20.10.2020, 11:22

Elvis

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@Dopap und Leopold: Es gibt auch Zahlen, die weder komplex noch positiv noch negativ noch 0 sind. Jeder Zahlkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q\subseteq K \end{eqnarray*}$ enthält 1, also auch -1 und somit gibt es stets einen umfassenden Zahlkörper $\begin{eqnarray*} K\subseteq L \end{eqnarray*}$ , der auch deren Quadratwurzeln $\begin{eqnarray*} \pm i \end{eqnarray*}$ enthält.

20.10.2020, 11:25

Leopold

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Ja und? Was hat das alles mit dem Problem des Fragestellers zu tun? Ich sehe schlicht null Zusammenhang.

20.10.2020, 11:27

Elvis

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Da jede Zahl Quadratzahl ist und eine oder zwei Quadratwurzeln hat, sind nicht alle Quadratwurzeln natürliche Zahlen.

20.10.2020, 11:44

Leopold

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Wenn ich im Unterricht Sehnenvierecke behandle, frage ich die Schüler oft, wieso sie noch nie den Begriff Sehnendreieck gehört hätten. Die Kundigeren kommen schnell dahinter, daß das ein völlig überflüssiger Begriff wäre, weil ja jedes Dreieck einen Umkreis besitzt.

Kannst du mir sagen, warum es den Begriff Quadratzahl überhaupt gibt?

20.10.2020, 12:12

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Elvis
Da jede Zahl Quadratzahl ist und eine oder zwei Quadratwurzeln hat ...

Vielleicht sollten wir doch mal versuchen, ein paar Begriffe zu klären.

Duden sieht die Quadratzahl als eine

Zitat:

natürliche Zahl, die gleich dem Quadrat einer anderen natürlichen Zahl ist

Das Quadrat wiederum wird einfach erklärt als

Zitat:

zweite Potenz einer Zahl

Hier ist also die Quadratzahl ein spezieller Fall des Quadrats. Und wenn man den Duden mathematisch als maßgeblich ansieht, wäre die Frage wohl auch geklärt: sie ist mit "ja" zu beantworten. Tatsächlich maßgeblich ist hier aber eben die Definition, die in der Schule gegeben wurde. Wahrscheinlich ist das dieselbe, aber es sollte geklärt werden.

So gesehen, ist eben nicht jede Zahl Quadratzahl, wohl aber Quadrat.

Und es gibt auch nur eine Quadratwurzel einer Zahl, nämlich die nichtnegative, solange man Wiki folgt. Zwar hat die Gleichung x²=2 zwei Wurzeln, aber es gibt nur eine Quadratwurzel aus 2.

Viele Grüße
Steffen

20.10.2020, 12:12

Elvis

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Der Begriff Quadratzahl stammt aus einer Zeit, als man unter Zahl natürliche oder rationale Zahl verstanden hat, also aus der Antike, vermutlich von Pythagoras. Reelle und alle anderen Zahlen sind eine Erfindung der Neuzeit. Da wir nicht mehr im Altertum leben, sollte es möglich sein, auch über moderne Begriffe zu sprechen. Wer seine Aussagen einschränken möchte, sollte das explizit tun und nicht den eingeschränkten Horizont für das Ende der Welt halten.

20.10.2020, 12:14

Leopold

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Das sehe ich ähnlich wie Steffen. Den Satz

Jede positive reelle Zahl ist das Quadrat einer reellen Zahl.

würde ich sofort unterschreiben. Beim Satz

Jedes positive reelle Zahl ist eine Quadratzahl.

sage ich genau so klar: Falsch!

@ Elvis: Du bist meiner Frage ausgewichen.

20.10.2020, 12:43

Elvis

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Ihr vertretet zu recht die Mehrheitsmeinung, und ich gebe zu, dass ich Begriffe durcheinander gebracht habe. Ich bedaure, wenn ich damit Verwirrung und Unfrieden gestiftet habe, das war nicht meine Absicht. Außerdem habe ich selbst kürzlich von Quadratzahlen gesprochen in genau dem Sinne, den jeder darunter versteht: Summenformel beweisen (vollständige Induktion)

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