3 Duellanten

21.10.2020, 15:34

Dopap

3 Duellanten

Ähnlich wie im Film
the Good the Bad and the Ugly bestreiten die Protagonisten in Gedanken ein sogenantes "Truel".

Nur wird hier im Personendreieck in der Reihenfolge (G)ood, (B)ad, (U)gly geschossen bis
einer übrig bleibt. Nach dem ersten Treffer geht es mit einem Duell weiter.
Die tödlichen Trefferraten:
G trifft mit p=1/3
B trifft mit p=2/3
U ist ein perfekter Schütze.

B und U schießen - wenn Sie die Wahl haben - immer auf denjenigen von dem die größere Bedrohung ausgeht.

Welche Überlebenswahrscheinlichkeit hat G und wie soll er vorgehen?

G hat mMn 3 Möglichkeiten während des TRUEL:
1. Er zielt immer auf B $\begin{eqnarray*} \quad G \mapsto B \end{eqnarray*}$
2. Er zielt immer auf U $\begin{eqnarray*} \quad G \mapsto U \end{eqnarray*}$
3. Er zielt absichtlich daneben $\begin{eqnarray*} \quad G\uparrow \end{eqnarray*}$

Syntax und die Wahrscheinlichkeiten beim Duell

A. $\begin{eqnarray*} (X,\underline Y) \end{eqnarray*}$ bedeutet: die erste Koordinate überlebt und die unterstrichene Koordinate beginnt.

Allgemein gilt :

B. $\begin{eqnarray*} P(X,\underline Y)=P(\underbrace {Y\not\to X}_{ trifft\, nicht } )\cdot \big(P(\underbrace{X \to Y}_{trifft})+P(X\not \to Y)\cdot P(X,\underline Y) \big) \end{eqnarray*}$

oder aus logischen Gründen beim Duell $\begin{eqnarray*} P(X,\underline Y)= 1-P(\underline Y,X) \end{eqnarray*}$
damit reduzieren sich diese Fälle auf den Typ $\begin{eqnarray*} (\underline X,Y) \end{eqnarray*}$

konkret

1.) $\begin{eqnarray*} P(\underline G, B)=P(G\to X )+ P(G\not \to B)\cdot P(B\not \to G)\cdot P(\underline G, B)\,\Rightarrow \frac 79 P(\underline G, B)=\frac 13\, \Rightarrow \, P(\underline G, B) =\frac37 \end{eqnarray*}$ und analog dazu
2.) $\begin{eqnarray*} P(\underline G,U )=\tfrac 13 \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} P( G, \underline B)=\tfrac 17 \end{eqnarray*}$
4.) $\begin{eqnarray*} P(G, \underline U)=0 \end{eqnarray*}$

Zurück zum Truel:

Die Strategie $\begin{eqnarray*} (G\uparrow , ) \end{eqnarray*}$ sei gewählt. B und U werden in ein Zweipersonenduell
verwickelt sein, der Überlebende muss sich G stellen, der zuerst schießen darf. Es besteht
eine 2/3 Chance, dass B den U tötet, wenn er es nicht tut, stirbt er beim Rückschuss.

$\begin{eqnarray*} p(G \,\,\text{überlebt}) = \frac 23 p(\underline G,B+)+ \frac 13 p(\underline G,U)\\<br /> = \frac 23 \cdot\frac 37 + \frac 13 \cdot\frac 13\\<br /> = \frac {6}{21} + \frac 19= \frac {25}{63} \approx .397 \end{eqnarray*}$

=====================================================================

Bei TrefferWahrscheinlichkeiten wie zum Beispiel 0.36 , 0.62 , 0.83 für G,B, U - ohne die hilfreiche "Stoppregel" für U -
erscheint mir die genaue Berechnung zu schwierig, zudem immer erst alle Strategien zu überprüfen sind.
Wahrscheinlich ist dann eine Simulation nicht zu vermeiden.

kann man das so unterschreiben?

21.10.2020, 15:57

HAL 9000

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Ah, nach langer Pause mal wieder das Klassische Triell (auch hier). Immer schön, alte Bekannte mal wieder zu treffen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Dopap
Ähnlich wie im Film
the Good the Bad and the Ugly bestreiten die Protagonisten in Gedanken ein sogenantes "Truel".

Als Kenner dieses Klassikers weiß ich, dass dort die Wahrscheinlichkeiten aber anders waren:

U (also Tuco) mag vielleicht auch dort ein perfekter Schütze gewesen sein, dennoch war seine Trefferwahrscheinlichkeit gleich Null: Weil G ihm in der Nacht zuvor die Patronen aus dem Revolver entfernt hatte - was aber eben nur G wusste. Sehr komfortabel, weil G nun wusste, dass er nur auf B schießen muss. Big Laugh

22.10.2020, 13:40

Dopap

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interessante alte Threads mit allerlei Meinungen.

Immerhin scheint die Lösung zu stimmen und alleine die optisch/syntaktische Umsetzung
würde mMn einen Sonderpunkt verdienen.

Bleibt nur noch (evtl.) der Versuch, sich an etwas wie (g,b,u)=(25%,55%, 70%) ranzumachen.

16.11.2020, 00:30

Dopap

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der nicht perfekte Ugly

Zitat:

Original von Dopap

Bleibt nur noch (evtl.) der Versuch, sich an etwas wie (g,b,u)=(25%,55%, 70%) ranzumachen.

Sei nun $\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{Spieler} & G & B & U \\\hline \text{Trefferwkt} & 0.3333 & 0.6667& 0.75\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

Spieler U habe jetzt neu die Trefferwkt = 3/4.

Strategie I : G schießt erstmal wie zuvor in die Luft.

mittels Simulation ergibt sich numerisch

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{Spieler} & G & B & U \\\hline \text{Überlebenswkt} & 42.12% & 41.54% & 13.33%\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$ ?

durchschnittlich etwa 4 bis 5 Schüsse.

Die anderen Strategien sind auch hier schlechter für G

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