Matheolympiade Raumgeometrie

21.10.2020, 22:58	Majoe	Auf diesen Beitrag antworten »
Matheolympiade Raumgeometrie Meine Frage: A401223: Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge a, dem eine Kugel mit Radius a/2 einbeschrieben ist. In die Würfelecken sollen kleinere Kugeln eingefügt werden, ¨ die jeweils die drei Flächen, die in der Ecke zusammenstoßen, und die große Kugel berühren. Wie groß ist der Radius der kleinen Kugeln? Meine Ideen: Bei dieser Aufgabe hab ich wirklich überhaupt keinen Ansatz
21.10.2020, 23:37	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matheolympiade Raumgeometrie Lege doch einfach eine Würfelecke in den Ursprung und überlege Dir, daß jeweils drei Kugelmittelpunkte auf einer Raumdiagonalen des Würfels liegen. Um die Aufgabe zu lösen, musst Du also ausrechnen, wo die Kugelmittelpunkte auf der Diagonalen liegen. Während die große Kugel alle 6 Seitenwände des Würfels berührt, berühren die kleineren 8 Kugeln, die auf die 8 Ecken verteilt sind, nur jeweils 3 Wände.
22.10.2020, 09:33	quadrierer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matheolympiade Raumgeometrie Die folgenden Bilder sollen weiter helfen. Das grüne Bild ist der Würfelschnitt von Eckenkante zu Eckenkante. Das rote Bild ist eine Draufsicht. [attach]52033[/attach]
22.10.2020, 14:05	Majoe	Auf diesen Beitrag antworten »
So weit war ich auch schon, allerdings kann ich daraus nichts ableiten
22.10.2020, 14:47	Majoe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte einen Einfall: a ... Würfellänge, k... Stück auf Raumdiagonale bis zur Kugelberührung, r... Radius kleine Kugel $\begin{eqnarray} k=\sqrt{2}r-r \\<br /> 2k+a+4r=\sqrt{3}a \\<br /> \Rightarrow r=\frac{(\sqrt{3}-1)a}{2+2\sqrt{2}} <br /> \end{eqnarray}$ Ist das so richtig?
22.10.2020, 15:34	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Diesen - im Prinzip - gleichen Ansatz habe ich auch verwendet, d.h.: Halbe Raumdiagonale = (a/2) + r + Reststück Damit bekomme ich aber $\begin{eqnarray} r=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)}{2 \cdot \left(\sqrt{3}+1\right)}\cdot a \end{eqnarray}$ Habe es zweimal gerechnet. Werde es nochmal überprüfen.
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22.10.2020, 15:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Gualtiero Stimmt schon. Ästhetisch schöner sind natürlich wurzelfreie Nenner, d.h., $\begin{eqnarray} r = \frac{2-\sqrt{3}}{2} a \end{eqnarray}$ .
22.10.2020, 16:53	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaah ja . . . Also den Bruch mit $\begin{eqnarray} \left( \sqrt{3}-1 \right) \end{eqnarray}$ erweitern, ausmultiplizieren und kürzen. Danke
22.10.2020, 17:55	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe es früher mit analytischer Geometrie und einem Parameter "dynamisch" vorgerechnet. Bildlich gesprochen einen kleinen Ballon in der Ecke bei steter Flächenberührung aufgeblasen bis er die Innkugel berührt. Mit 8 Styroporkugeln kann man so einer empfindlichen Glaskugel stabilen Halt verschaffen.

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