Ist ein Kreis eine Funktion?

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Ist ein Kreis eine Funktion?
Hey Leute Wink
Nur eine sehr kurze Frage: In der Schule haben wir gelernt, dass ein Kreis keine Funktion ist. Begründung: Durch die Kreisgleichung gibt es x-Werte, zu denen mehrere y-Werte gehören, wenn wir sie umstellen.
Allerdings beschreibt doch den selben Kreis und ist sogar eine bijektive Abbildung. Diese Abbildung und auch ihre Umkehrabbildung sind doch beides Funktionen, oder??

Also ist die Antwort auf die Frage: "Ist ein Kreis eine Funktion?" doch einfach: "Ja." Stimmts?

Danke für eure Hilfe smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist ein Kreis eine Funktion?
Eine Funktion wird auch gekennzeichnet durch Urbild- und Bildmenge. Das macht dann durchaus einen Unterschied. smile
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist ein Kreis eine Funktion?
Also ist keine Funktion, aber schon?
So wie ichs grad aufgeschrieben hab, ist die zweite Abbildung aber noch nicht surjektiv, oder? Weil ja z.B. nicht auf den Punkt abbildet. Wie würde man hier die Zielmenge definieren, damit die Abbildung am Ende wirklich bijektiv ist?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MasterWizz
So wie ichs grad aufgeschrieben hab, ist die zweite Abbildung aber noch nicht surjektiv, oder? Weil ja z.B. nicht auf den Punkt abbildet.

Warum sollte diese Abbildung auch surjektiv sein? Wir wollen doch als Bild nicht die gesamte Quadratfläche haben, sondern nur den Einheitskreis. Wobei "Kreis" per Definition nur die Kreislinie bedeutet (wollte ich an der Stelle nochmal betonen, da du hier mit dieser Quadratfläche angekommen bist).

Du könntest z.B. schreiben mit . Dann ist dein tatsächlich bijektiv.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man das Problem präziser formuliert, dann kann man auch präzise Antworten darauf geben.

Bei der Frage "Ist ein Kreis eine Funktion?" werden unausgesprochen ein paar Sachverhalte zugrunde gelegt. Den Funktionsbegriff gibt es in einem weiteren (mengentheoretischen) und in einem engeren (klassischen) Sinn. Im engeren Sinn, und um den geht es hier, ist eine Funktion, hier: reelle Funktion, eine Abbildung , wobei eine Teilmenge von ist. Bei den klassischen Funktionen könnten wir noch mehr einengen und als eine Vereinigung endlich vieler Intervalle betrachten. Dann präzisieren wir weiter:

"Ist ein Kreis der Graph einer Funktion?"

Gibt es also ein wie beschrieben und eine Funktion , so daß die Menge gerade die Menge der Punkte einer Kreislinie im ist? Und die Antwort auf diese Frage ist: Nein.

Und so ist das gemeint.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Leopold, und wenn f jetzt eine Abbildung von der Definitionsmenge (D) auf einen Wertevorrat () ist, so wie HAL es beschrieben hat, handelt es sich dann bei um eine Funktion (im weiteren mengentheoretischen Sinn)?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es handelt sich um eine Funktion, ja, aber diese Funktion "ist" NICHT der Kreis, sondern nur die Bildmenge dieser Funktion ist ein Kreis.

Die Funktion selbst ist als Relation eine Teilmenge von und damit auf jeden Fall eine Teilmenge des , als solche aber gewiss KEIN Kreis im (sowas gibt es ja auch), sondern eine Helix. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dieses ist eine Funktion, und sein Bild (nicht sein Graph!) ist die Einheitskreislinie.

@ HAL: Da hatten zwei wohl dasselbe im Sinn.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab dann noch den Fachbegriff für das geometrische Gebilde ergänzt, welches diese letztere Funktion "ist". smile
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok ich verstehe. Mein Problem lag darin, dass ich nicht unterschieden habe zwischen "Bild" und "Graph".

Also noch mal kurz zum Verständnis:
Das Bild der genannten Funktion ist die Menge . Und was genau ist dann der Graph dieser Funktion? Die Helix ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist natürlich nur genau eine Windung dieser Helix, denn die Helix im eigentlichen Sinne enthält unendlich viele solche Windungen nach beiden Seiten - da war ich oben etwas ungenau. Augenzwinkern
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kreis ist äquivalent zu seiner Indikatorfunktion . Insofern doch eine Funktion.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem wir den Kreis als Graphen disqualifiziert, als Bild aber durchgewunken haben, kommt er jetzt noch als Urbild daher: .
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Haha ich verstehe. Danke euch allen für eure Erklärungen. Hat mir wieder sehr viel gebracht smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Nachdem wir den Kreis als Graphen disqualifiziert, als Bild aber durchgewunken haben, kommt er jetzt noch als Urbild daher: .

Als solcher also nur noch ein einzelner Funktionswert der Urbildfunktion. Und wenn ich mal noch den Krümelkacker in mir raushole, korrigiere ich Leopolds Formel zu . Zugegebenermaßen ist es aber nicht unüblich, Schreibfaulen diese verkürzende Schreibweise zuzugestehen. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wo anfangen? Wo aufhören?

Sollen wir wirklich schreiben, was selbst ja wieder eine Schreibkonvention für - oh! nein! - für ist? Schreiben wir doch einfach . Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind ja dann die Stochastiker, die dürfen das. Denen wird ja sowieso von mancher Seite unterstellt, dass sie einer unscharfen, ungenauen Wissenschaft frönen. Big Laugh

P.S.: Von den Wahrscheinlichkeitsklammern "befreit" gibt es aber auch die verschiedensten Ansichten, wie dann das Ereignis zu schreiben ist: Da ist zu sehen (wie bei dir), andere bevorzugen usw., da gibt es auch ein schönes Durcheinander. Augenzwinkern
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