Dritte Wurzel von -1

23.10.2020, 12:53

Alexastu

Dritte Wurzel von -1

Meine Frage:
Hallo, als ich so vor mich hingeträumt habe und über die komplexen Zahlen nachgedacht habe, wollte ich aus Spaß eine Art "Superzahl" finden, die die Menge dieser Zahlen erweitert, oder zumindest "interessant" ist. Da habe ich mir die Dritte-Wurzel-von-(-1) geschnappt und versucht in die Form (a+bi, a,b aus R) zu bringen.

Meine Ideen:
Zuerst habe ich natürlich eine Gleichung daraus gestellt, bin aber leider schnell in einer Sackgasse gelandet. Danach Setzte ich a = 0, um vielleicht eine "einfache" Approximation zu finden, doch daraus Wurde auch nichts. Also habe ich in Wolfram-Alpha das Problem versucht einzugeben und bekam eine approximierte Lösung (0.5 + 0.866025...i) heraus. Hier komme ich jetzt zu meinen Fragen:
Ich finde es sehr interessant, das der Realteil seine so schöne rationale Zahl ist und würde mich freuen, wenn mir jemand diesen Grund auch geometrisch erklären könnte.
Und meine zweite Frage richtet sich an den Imaginärteil: Mich interessiert es, ob diese Zahl (0.866...) eine irrationale Zahl ist und wie ich das herausfinden kann. Wäre super, wenn mir auch dabei jemand weiter helfen kann.

Vielen Dank schonmal im Voraus.

23.10.2020, 13:09

Leopold

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Wenn du weißt, daß das Wurzelziehen für das Argument (das ist der Winkel, den der Strahl von 0 durch die komplexe Zahl mit der positiven reellen Achse einnimmt), beim Quadratwurzelziehen eine Halbierung, beim Kubikwurzelziehen eine Drittelung bedeutet, erklärt sich alles von alleine. Die komplexe Zahl -1 hat das Argument 180°. Ein Drittel davon sind 60°. Die Zahl 0, die Zahl 1 und deine dritte Wurzel aus -1 bilden daher ein gleichseitiges Dreieck. Und in diesem trifft die Höhe nun mal in der Mitte der zugehörigen Seite auf. Dort liegt 0,5. Das ist der Cosinus von 60°.

23.10.2020, 13:33

Steffen Bühler

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Willkommen im Matheboard!

Was das komplexe Wurzelziehen betrifft, empfehle ich außerdem unseren Workshop.

Und was die "Erweiterung" der Menge der komplexen Zahlen betrifft, ist diese, wenn ich mich recht erinnere, mathematisch nicht notwendig, wie Gauß nachgewiesen hat. Man stößt zwar bei den Verknüpfungen der natürlichen Zahlen schnell an Grenzen, so dass die negativen ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und schließlich eben auch die komplexen Zahlen "notwendig" wurden. Mehr braucht es aber nicht, mit den komplexen Zahlen ist sozusagen alles möglich.

Viele Grüße
Steffen

23.10.2020, 13:47

willyengland

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RE: Dritte Wurzel von -1

Zitat:

Original von Alexastu
diese Zahl (0.866...)

Wenn man diese Zahl sieht, sollte es evtl. zum Allgemeinwissen gehören, dass das sin(60°) ist.

0,500... = Wurzel (1) / 2
0,707... = Wurzel (2) / 2
0,866... = Wurzel (3) / 2

sind die drei wichtigen Punkte im Sinus (30°, 45°, 60°).

23.10.2020, 13:51

HAL 9000

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@Alexastu

Was das komplexe Wurzelziehen betrifft, muss man liebgewonnene Gewissheiten aus dem Reellen auch bisweilen in Frage stellen:

So liefert etwa die Erweiterung der dritten Wurzel im Reellen auf alle reellen Zahlen das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-1}=-1 \end{eqnarray*}$ , während der Hauptwert dieser dritten Wurzel im Komplexen stattdessen $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-1} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ ist. Da muss man sicher erstmal schlucken, wenn man das sieht, bis man sich das via Definition dieses Hauptwertes klar gemacht hat.

In dem Zusammenhang muss man bei solchen Fragen auch stets eruieren, ob nun gerade die eine dritte Wurzel $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a} \end{eqnarray*}$ (d.h. Hauptwert) gemeint ist, oder nicht doch alle drei dritten Wurzeln, womit die drei Lösungen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^3=a \end{eqnarray*}$ gemeint sind. War auch hier im Board das eine oder andere mal schon Grund für einen Streit um die Begrifflichkeiten. Augenzwinkern

23.10.2020, 13:55

Elvis

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Sir William Rowan Hamilton hat auch so vor sich hingeträumt und um 1843 die Quaternionen gefunden. Wenig später hat John Thomas Graves die Oktaven beschrieben, die unabhängig 1845 von Arthur Cayley veröffentlicht wurden. Die ehrenwerten Herren hielten diese Algebren in der Tat für hypercomplexe Zahlen und nannten sie auch so. Wer sich heute für Algebren interessiert, sollte eher bei Max Deuring "Algebren" (1934) nachlesen, für einen leichteren Einstieg und umfassenden Überblick empfehle ich Ebbinghaus et al. "Zahlen", Springer Lehrbuch, 3. Auflage 1992.

23.10.2020, 14:05

Leopold

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Kolumbus hat Indien gesucht und Amerika gefunden.
Hamilton hat die Multiplikation im $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ gesucht und die Multiplikation im $\begin{align*} \mathbb{R}^4 \end{align*}$ gefunden.

So geht Aufbruch ins Ungewisse und Abenteuer.

23.10.2020, 17:50

Elvis

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Christoph Kolumbus wußte nicht, dass er Amerika gefunden hatte, er glaubte, er habe wie geplant die Ostküste Indiens erreicht. Amerigo Vespucci erforschte während seiner Fahrten weite Teile der Ostküste Südamerikas. Der deutsche Kartograf Martin Waldseemüller benannte den Doppelkontinent Amerika nach ihm. (Sehr hörenswerte Vorlesungen zur Geschichte des Mittelalters von Prof. Dr. Ellen Widder auf timms.)
Hamilton wollte Tripel multiplizieren, das geht aber nicht, also hat er nach vielen langen Versuchen die nächstbeste Möglichkeit gefunden. In "Zahlen" lernt man, dass n=1,2,4,8 in gewissem Sinne die einzigen Möglichkeiten sind, im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren.
Auf der Erde kommt man gelegentlich ebenso an ein Ende wie in der Mathematik. "Das Märchen ist aus, dort läuft eine Maus, wer sie fängt, darf sich eine große große Pelzkappe daraus machen". Augenzwinkern

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