Gleichheit von Paaren mithilfe von Kuratowski

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Gerader Typ Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit von Paaren mithilfe von Kuratowski
Meine Frage:
Hallo.
Ich muss zeigen, dass (a,b) = (c,d) <=> a = c, b = d mithilfe der Gleichung (a,b) = {{a},{a,b}} zeigen. Das habe ich so gemacht:
(a,b) = {{a},{a,b}} = {{c},{c,d}} = (c,d). Mengen sind gleich, wenn ihre Elemente gleich sind. Da {a} und {c} beide die einelementigen Mengen sind, müssen sie gleich sein und da {a,b} und {c,d} die zweielementigen Mengen sind, müssen sie gleich sein.
{a} = {c} <=> a = c und {a,b} = {c,d} = {a,d}, also b = d.

Ich hoffe, man hat das verstanden. Mein Problem liegt 1) bei der Begründung, dass die einelementigen, zweielementigen Mengen gleich sein müssen. {a} = {a,b} kann ja nicht gelten, weil es in der zweiten Menge ({a,b}) ein Element gibt, dass nicht in der ersten Menge ({a}) ist. Es ergibt keinen Sinn, dass Elemente mit unterschiedlicher Mächtigkeit gleich sind. Kann ich das so voraussetzen als intuitiv?
2) {a,b} = {a,d} <=> b = d. Das ist ja auch irgendwie "logisch", jedes Element in der einen Menge hat eine Entsprechung in der andeden und a = a ist ja klar. Aber wie gesagt, ich fühle mich unsicher, weil "ist ja klar" kein Beweis ist.

Kann das jemand korrigieren?
Danke!

Meine Ideen:
.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

"Ist klar" ist immer der schnellste Beweis. "<=>" ist auch ziemlich schnell. Die meiste Sorgfalt kann man walten lassen, wenn man "=>" und "<=" beweist. Andererseits finde ich keinen Fehler in deiner Argumentation, kann also nicht ausschließen, dass dein Beweis richtig und vollständig ist. Was ist mit dem Paar (a,a) ? Dessen Elemente sind zwei einelementige Mengen !
Gerader Typ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn (a,a) gleich (c,d) sein soll, dann wäre das mengentheoretisch {{a}, {a}} = {{c}, {d}}. Jetzt muss c = d gelten, weil wir links eine einelementige und rechts eine zweielementige Menge, weil Mengen genau dann gleich sind, wenn sie die gleichen Elemente und somit die gleiche Mächtigkeit haben. Und dann haben wir {{a}} = {{c}} => a = c = d.
Stimmt das so?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Was ist mit dem Paar (a,a) ? Dessen Elemente sind zwei einelementige Mengen !


Dessen Element ist eine einelementige Menge.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Da habe ich wohl etwas doppelt gesehen. Augenzwinkern Danke.
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