Ungleichung mit Beträgen

24.10.2020, 14:47

idfenm

Ungleichung mit Beträgen

Zeigt, dass für alle reellen Zahlen a, b ≥ 0 gilt:

|wurzel(a)-wurzel(b)| <= wurzel(a-b)

Zuerallerst hätte ich quadriet

wurzel(a)-wurzel(b) <= a-b

Jetzt weiß ich nicht mehr weiter, wie soll cih jetzt weiter umstellen?

24.10.2020, 15:01

Leopold

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Es ist nicht ganz klar, wie deine Ungleichung lauten soll. Geht es um

$\begin{align*} \left| \sqrt{a} - \sqrt{b} \right| \leq \sqrt{\left| a-b \right|} \end{align*}$ für $\begin{align*} a,b \geq 0 \end{align*}$

24.10.2020, 15:07

idfenm

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Gleichung
Hey Leopold,

ja genau,

sorry dann würde ich am anfang zweimal quadrieren, wenn ich rumrechne komme ich auf

Wurzel(ab) <= b

Ist das soweit richtig, wenn ja wie gehe ich weiter vor, falls das nicht stimmt poste ich meinen rechenweg

24.10.2020, 15:42

Leopold

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RE: Gleichung

Zitat:

Original von idfenm
Ist das soweit richtig, wenn ja wie gehe ich weiter vor, falls das nicht stimmt poste ich meinen rechenweg

Da du keine Rechnung, sondern nur ein Zwischenergebnis angegeben hast, läßt sich nicht beurteilen, was du richtig und was du falsch gemacht hast.

Ich würde zunächst ohne Beschränkung der Allgemeinheit $\begin{align*} a \geq b > 0 \end{align*}$ voraussetzen (überlege, warum man das darf). Dann braucht man keine Betragsstriche mehr und muß noch Folgendes zeigen:

$\begin{align*} \sqrt{a} - \sqrt{b} \leq \sqrt{a-b} \end{align*}$

Nach einmaligem Quadrieren (warum ist das hier eine Äquivalenzumformung?) bekommt man mit kleinen Umformungen:

$\begin{align*} b \leq \sqrt{ab} \end{align*}$

Jetzt könnte man nochmal quadrieren (warum ist das hier eine Äquivalenzumformung?) und durch $\begin{align*} b \end{align*}$ dividieren (warum darf man das?).

Alternativ bietet sich an, in

$\begin{align*} \sqrt{a} - \sqrt{b} \leq \sqrt{a-b} \end{align*}$

auf der rechten Seite unter der Wurzel mit der dritten binomischen Formel zu zerlegen.

24.10.2020, 15:51

idfenm

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Danke für die schnelle Antwort.

Da der Betrag unter der Wurzel nicht negativ sein darf, aus diesem Grund darf man das voraussetzen. Das wäre jetzt meine Vermutung.

Und zum zweiten Teil, allgemein verstehe ich das nicht ganz, ab wann das Quadrieren als Äquivalenzumformung und zählt ab wann nicht.

Ich mein,

x=2

Wenn man beides quadriert

x^2 = 4

und hat so gesehen mehr Lösungen. Hier wäre es ja keine Äquivalenzumformung.

Vielleicht kannst du es mir erläutern, wie man sowas erkennt.

24.10.2020, 17:02

Dopap

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Zitat:

Original von idfenm

x^2 = 4

und hat so gesehen mehr Lösungen. Hier wäre es ja keine Äquivalenzumformung.

Willst du damit andeuten, dass die $\begin{eqnarray*} \sqrt 4 \end{eqnarray*}$ 2 "Lösungen hat? unglücklich

$\begin{eqnarray*} x=2 \Rightarrow x^2=4 \end{eqnarray*}$ ist zunächst mal eine Folgerung. Damit das eine Äquivalenzumformung wird schreibt man

$\begin{eqnarray*} x=2 \,\land \, x\geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2=4 \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich mit Kanonen auf Spatzen geschossen da die ( positive ) Lösung schon bekannt ist.

Beim Quadrieren darf im variablen Term die Variable nur aus eine Menge stammen für deren Elemente der Term $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

In der Praxis macht man das oft nicht und macht hinterher die Probe(n) am Original.

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