Matheolympiade |
24.10.2020, 15:59 | Fritzlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Matheolympiade Man ermittle alle diejenigen Paare (x, y) nichtnegativer ganzer Zahlen x und y, für die eine Quadratzahl ist. Meine Ideen: Irgendwie finde ich keinen Ansatz. Auf jeden Fall ist (1,1) schonmal eine Lösung |
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24.10.2020, 17:49 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(0,0) ist auch eine Lösung. |
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24.10.2020, 18:09 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für ergibt sich , das kann keine Quadratzahl sein. Daher sind hinsichtlich nur noch die Fälle sowie übrig, was die Sache schon mal vereinfacht. |
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24.10.2020, 18:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also entweder (1) oder (2) , also (Nachtrag: Hat es etwas zu bedeuten, dass WolframAlpha keine weitere ganzzahlige Lösung findet ?) |
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24.10.2020, 20:24 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der einzig interessante Restfall ist ja mit und . Da dort ja gelten muss, ergibt der Ansatz mit sowie dann . Daraus folgt sowie und damit . Da bleibt nur noch . |
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24.10.2020, 21:49 | fritzlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sehr kluger Rechenwege! Vielen Dank für die Hilfe. Was sich mir allerdings nicht erschließt ist warum man am Ende sagen kann, dass ist. |
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24.10.2020, 22:10 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab nun nicht jeden kleinen Argumentationsschritt ausgewalzt - etwas wollt ich auch dir überlassen... Na gut, hat nicht geklappt:
Die rechte Seite ist ganzzahlig, damit muss auch ganzzahlig sein, es folgt . Die Annahme würde aber bedeuten, dass in die rechte Seite durch 5 teilbar ist, die linke Seite wegen aber nicht - Widerspruch. |
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24.10.2020, 23:53 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Alternative: Aus folgt . Daraus folgt dann und |
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25.10.2020, 13:27 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das kommt davon wenn man sich nach dem Auffinden einer Lösung nicht mehr um deren Vereinfachung bemüht. |
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