Matheolympiade

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Fritzlein Auf diesen Beitrag antworten »
Matheolympiade
Meine Frage:
Man ermittle alle diejenigen Paare (x, y) nichtnegativer ganzer Zahlen x und y, für die
eine Quadratzahl ist.

Meine Ideen:
Irgendwie finde ich keinen Ansatz. Auf jeden Fall ist (1,1) schonmal eine Lösung
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

(0,0) ist auch eine Lösung.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für ergibt sich , das kann keine Quadratzahl sein. Daher sind hinsichtlich nur noch die Fälle sowie übrig, was die Sache schon mal vereinfacht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »




also entweder (1)
oder (2) , also

(Nachtrag: Hat es etwas zu bedeuten, dass WolframAlpha keine weitere ganzzahlige Lösung findet ?)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der einzig interessante Restfall ist ja mit und .

Da dort ja gelten muss, ergibt der Ansatz mit sowie dann



.

Daraus folgt sowie und damit . Da bleibt nur noch .
fritzlein Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr kluger Rechenwege! Vielen Dank für die Hilfe. Was sich mir allerdings nicht erschließt ist warum man am Ende sagen kann, dass ist.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fritzlein
Was sich mir allerdings nicht erschließt ist warum man am Ende sagen kann, dass ist.

Ich hab nun nicht jeden kleinen Argumentationsschritt ausgewalzt - etwas wollt ich auch dir überlassen... Na gut, hat nicht geklappt:

Zitat:
Original von HAL 9000
.

Die rechte Seite ist ganzzahlig, damit muss auch ganzzahlig sein, es folgt .

Die Annahme würde aber bedeuten, dass in die rechte Seite durch 5 teilbar ist, die linke Seite wegen aber nicht - Widerspruch.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Alternative: Aus folgt .
Daraus folgt dann und
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kommt davon wenn man sich nach dem Auffinden einer Lösung nicht mehr um deren Vereinfachung bemüht. Hammer
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