Restklassen

24.10.2020, 18:56	Restlosverzweifelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Restklassen Meine Frage: Hallo. Bei mir wurde bewiesen, dass a genau dann kongruent mod n ist, wenn a und b den gleichen Rest beim Teilen durch n haben. Deshalb seien die Äquivalenzklassen [a] = a + nZ = r + nZ, wobei r der Rest ist. Ich verstehe nicht ganz, wie man auf die Summe r + nZ = {r + nc \| c ? Z} kommt. Danke. Meine Ideen: Vielleicht wegen a + nZ = r + nZ <=> a = r + nZ, wenn man auf beiden Seiten nZ subtrahiert. Aber da bin ich mir eher unsicher.
24.10.2020, 19:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a\equiv b\mod n\Leftrightarrow n\|(a-b)\Leftrightarrow \exists c:nc=a-b\Leftrightarrow a=b+nc\Leftrightarrow a\in b+n\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} nc=a-b\Leftrightarrow n(-c)=b-a \end{eqnarray}$ ist alles symmetrisch, daraus folgt $\begin{eqnarray} a\equiv b\mod n\Leftrightarrow a+n\mathbb Z=b+n\mathbb Z \end{eqnarray}$ , und diese Restklasse hat einen kleinsten nichtnegativen Vertreter $\begin{eqnarray} r\in n \mathbb Z \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} a\equiv b\mod n\Leftrightarrow a+n\mathbb Z=b+n\mathbb Z=r+n\mathbb Z \end{eqnarray}$ gilt.
24.10.2020, 19:32	Restlosverzweifelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann überhaupt $\begin{eqnarray} r \in n \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , weil r als Rest bei Division durch n ja zwingend echt kleiner als n sein muss?
24.10.2020, 19:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel: $\begin{eqnarray} a=786\equiv b=1794\equiv r=2\mod n=56\Leftrightarrow 786+56\mathbb Z=1794+56\mathbb Z=2+56\mathbb Z \end{eqnarray}$
24.10.2020, 20:10	Restlosverzweifelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Beispiel hat mir leider nicht wirklich geholfen Meine Frage ist ja, warum sich die Äqui-Klasse [a] = a + nZ auc als r + nZ schreiben lässt. Ich kann mir das nur so erklären: a + nZ = r +nZ a = r + nZ - nZ = r+ n(Z-Z) = r + nZ für eine andere ganze Zahl.
24.10.2020, 21:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest besser versuchen, die Beweise und Beispiele zu verstehen. Eine Zahl a kann nicht gleich einer Restklasse sein. Zahlen sind genau dann kongruent, wenn die zugehörigen Restklassen gleich sind. Die Addition einer Restklasse zu einer Zahl ist weder eine Addition von Zahlen noch eine Addition von Restklassen, sie ist die symbolische Darstellung einer Menge, die man Restklasse nennt.
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25.10.2020, 07:40	Restlosverzweifelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich häng mich da nochmal rein. Ich melde mich, falls ich noch Fragen habe Danke!
25.10.2020, 11:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stell dir zunächst mal ein ganz simples Beispiel vor. Es gibt gerade Zahlen $\begin{eqnarray} 2\mathbb Z=0+2\mathbb Z=5347258+2\mathbb Z=a+2\mathbb Z \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ gerade und ungerade Zahlen $\begin{eqnarray} 1+2\mathbb Z=-51865469+2\mathbb Z=b+2\mathbb Z \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ungerade. $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ sind die kleinsten positiven Reste modulo $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ , und zwei Zahlen sind genau dann kongruent modulo $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ , wenn ihre Differenz durch $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ teilbar ist, wenn also entweder beide gerade oder beide ungerade sind, das ist genau dann der Fall, wenn sie zur selben Restklasse gehören.

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