Verbundene Kurven

25.10.2020, 09:21

Dopap

Verbundene Kurven

Die Gerade $\begin{eqnarray*} y_0:=40x+400 \quad x\in \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ ist gegeben.

Seien $\begin{eqnarray*} y_1:=\frac{1}{100}x^2 +b_1x+c_1 \quad x\in [0,t_a) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} y_2:=-\frac{1}{100} +b_2x+c_2 \quad x\in [t_a,t_b] \end{eqnarray*}$ 2 Parabeln,

stetig und differenzierbar "glatt" in $\begin{eqnarray*} t_a \end{eqnarray*}$ .

Desweiteren soll die HalbGerade einmal Tangente sein und die Kurve in $\begin{eqnarray*} N(t_b,0) \end{eqnarray*}$ enden.

bestimme $\begin{eqnarray*} t_b \end{eqnarray*}$

Die Werte sind nicht gerade schultauglich, was aber für das Prinzip unwichtig ist.
Die Werte haben aber einen anschaulichen Hintergrund. [dazu evtl. später mehr]
In Rubrik Numerik eingestellt, aber sicher noch formal lösbar?

Numerisch erhalte ich $\begin{eqnarray*} \,\, t_b\approx 23\,338 \end{eqnarray*}$

27.10.2020, 12:18

Ulrich Ruhnau

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RE: Verbundene Kurven
Ich habe Mühe die Aufgabe zu verstehen. geschockt

Geht es hier nur darum, die Parabel $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=t_a \end{eqnarray*}$ in eine Gerade übergehen zu lassen ohne sprunghafte Veränderung der Steigung? Oder ist hier noch mehr gefordert?
Was hat denn die Gerade $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ damit zu tun? Wieso ist von zwei Parabeln die Rede? Ich zähle nur eine!

27.10.2020, 21:51

mYthos

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@Dopap
Leider kryptisch, wie bzw. woran liegt die Tangente? Eine Halbgerade sollte abschnittsweise angegeben werden (von wo ausgehend?).
Beschreibe bitte die Aufgabe genauer, so ist es ziemlich unverständlich. Eine Skizze? Wie spielen die Parameter b1, c1, b2, c2 dabei mit?
Fehlt bei der 2. Parabelgleichung nicht das x² ??

mY+

28.10.2020, 06:36

Dopap

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am Einfachsten ist wohl meine inzwischen getätigten Rechnungen zu zeigen:

die Gerade und die beiden 2 Parabeln in Normalform

$\begin{eqnarray*} \text{(Halb)Gerade}\quad y_0= 400 + 40x \\ y_1=.005 x^2\\ y_2= -467239 +136.71x-0,005x^2 \end{eqnarray*}$

die gesuchte abschnittsweise Kurve ist die Grüne, die im Berührpunkt in die Blaue glatt übergeht und dann mit der roten Geraden wiederum einen Berührpunkt hat.

Mit Bild ist leichter zu verstehen was gemeint ist.

======================================================

Verschärfung der Aufgabe und Hintergrund der Werte:

Weit weit draußen im All erfährt die Station ALPHA-1, dass die Erkundungssonde Voyager III auf ihren Weg nach alpha-Centauri aus Versehen ganz knapp vorbeifliegen wird. Außerdem müsste noch ein Schalter umgelegt werden. Der Rettungsroboter ROBO mit Heck- und Bugtriebwerk macht sich mit 10s Verspätung und konstant a=0.01 km/s^2 auf den Weg um Voyager einzuholen und in Nullzeit den Schalter umzulegen. Nach seinem Umkehrpunkt wird das Triebwerk abgeschaltet und zur finalen weichen Landung auf der Station wieder eingeschaltet. Die gesamte Mission soll 30 000 s dauern.

irgendwie verständlicher wie mit Geraden, Parabeln , Tangenten, Tiefpunkten etc. Augenzwinkern

Die Aufgabe könnte weitere Verschärfungen wie z. ein variables a enthalten
und steht deshalb bei "Numerik"

29.10.2020, 13:52

Dopap

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Eine Fortsetzung: die dritte Parabel soll ab Hochpunkt eine Grade übergehen welche von einer nach oben geöffneten Parabel abgelöst wird. Deren Tiefpunkt (30000,0) liegt.

Eine gleichwertige Beschreibung:

Weit weit draußen im All erfährt die Station ALPHA-1, dass die Erkundungssonde Voyager III auf ihren Weg nach Centauri aus Versehen ganz knapp vorbeifliegen wird. Außerdem müsste noch ein Schalter umgelegt werden. Der Rettungsroboter ROBO mit Heck- und Bugtriebwerk macht sich mit 10s Verspätung und konstant a=0.01 km/s^2 auf den Weg um Voyager einzuholen und in Nullzeit den Schalter umzulegen. Nach dem Umkehrpunkt wird das Triebwerk abgeschaltet und zur finalen weichen Landung auf der Station wieder eingeschaltet. Diese soll exakt nach T=30 000 s erfolgen.

Voyager : v=40 km/s
Vorsprung : 10s oder 400 km
ROBO : a=0.01 km/s^2

die Zeiten $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ sind Intervalldifferenzen
die Geschwindigkeiten $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ sind Intervalldifferenzen
die Wege $\begin{eqnarray*} s_i \end{eqnarray*}$ sind Intervalldifferenzen

Die Zeitenabfolge:
$\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ Beschleunigen
$\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ Bremsen bis Begegnung
$\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$ ohne Zeit-Verzögerung weiter bremsen bis Abschaltung
$\begin{eqnarray*} t_4 \end{eqnarray*}$ Trägheitsflug
$\begin{eqnarray*} t_5 \end{eqnarray*}$ Bremsen bis zur Landung

und entsprechend die 5 Geschwindigkeits- Intervalldifferenzen $\begin{eqnarray*} v_1,v_2.v_3,v_4,v_5 \end{eqnarray*}$

Die Bedingungen:
1.) $\begin{eqnarray*} v=v_1+v_2 \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} S(t_1+t_2)= s_1 + s_2 \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} v_1+v_2+v_3+v_4+v_5=0 \end{eqnarray*}$
4.) $\begin{eqnarray*} s_1+s_2+s_3+s_4+s_5=0 \end{eqnarray*}$
5.) $\begin{eqnarray*} t_1+t_2+t_3+t_4+t_5=30000 \end{eqnarray*}$

die einzelnen Teile sind vom Typ:
$\begin{eqnarray*} v_i=\{a, 0,-a\}\cdot t_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_i=(v_1+ \cdots +v_{i-1})\cdot t_{i} + 0.5\cdot \{a,0,-a\}\cdot t_i^2 \end{eqnarray*}$

in den Variablen und mit ganzen Zahlen:
1.) $\begin{eqnarray*} 80000+8000t_2 +8000t_2+t_2^2+(8000-2t_2)t_1-t_1^2=0 \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} 4000+t_2-t_1=0 \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} t_5-t_3-t_2+t_1=0 \end{eqnarray*}$
4.) $\begin{eqnarray*} t_5^2 +t_4^2-(2t_5+2t_4)t_3 -t_3^2-(2t_5+2t_4+2t_3)t_2-t_2^2+(2t_5+2t_4+2t_3+2t_2)t_1+t_1^2=0 \end{eqnarray*}$
5.) $\begin{eqnarray*} t_1+t_2+t_3+t_4+t_5-30000=0 \end{eqnarray*}$

Alle 5 Gleichungen simultan bearbeiten mit
a.) Newton ( Ableitungen + Inverse Matrix )
b.) Gradienten-Verfahren mit variabler Schrittweite
c.) Best-Random-Suche oder nur next-better Random mit variabler Schrittweite ohne Ableitungen

liefert bei mir:
$\begin{eqnarray*} t_1 \approx 5586.7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t_2 \approx 5155.4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t_3 \approx 9586.6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t_4 \approx 2835.5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t_5 \approx 6835.5 \end{eqnarray*}$

Mögliche Fragen wie :
Zeitpunkt und Ort der Begegnung, Gesamtbrenndauer, max. Geschwindigkeitsbetrag etc.
lassen sich einfach beantworten.

29.10.2020, 13:59

HAL 9000

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Womöglich sind alle wie selbstverständlich davon ausgegangen - ich frag trotzdem mal nach:

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} y_2:=-\frac{1}{100} +b_2x+c_2 \quad x\in [t_a,t_b] \end{eqnarray*}$

Das soll vermutlich $\begin{eqnarray*} y_2:=-\frac{1}{100}{\color{red}x^2} +b_2x+c_2 \quad x\in [t_a,t_b] \end{eqnarray*}$ heißen, oder? verwirrt

29.10.2020, 14:37

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Womöglich sind alle wie selbstverständlich davon ausgegangen - ich frag trotzdem mal nach:
...

Das soll vermutlich $\begin{eqnarray*} y_2:=-\frac{1}{100}{\color{red}x^2} +b_2x+c_2 \quad x\in [t_a,t_b] \end{eqnarray*}$ heißen, oder? verwirrt

Zitat:

Original von mYthos
Fehlt bei der 2. Parabelgleichung nicht das x² ??

29.10.2020, 15:33

HAL 9000

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Ist auch egal: Fehler und Widersprüche in den Darlegungen zu korrigieren ist bekanntlich Dopaps Sache nicht, lieber springt er zur nächsten Variation - deswegen gab es auch keine wirkliche Beachtung von mYthos' diesbezüglicher Anmerkung (die ich tatsächlich überlesen hatte).

29.10.2020, 18:00

Dopap

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RE: Verbundene Kurven

Zitat:

Original von Dopap
Seien
$\begin{eqnarray*} y_1:=\frac{1}{100}x^2 +b_1x+c_1 \quad x\in [0,t_a) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} y_2:=-\frac{1}{100}\, +b_2x+c_2 \quad x\in [t_a,t_b] \end{eqnarray*}$ 2 Parabeln,

stetig und differenzierbar "glatt" in $\begin{eqnarray*} t_a \end{eqnarray*}$ .

tatsächlich, ein Schreibfehler das hatte ich ganz vergessen.

"Es ist auch ziemlich schwer anhand obiger Bezeichnungen und der dann folgenden Rechnungen
- bis hin zu den grafischen Kurven - das tatsächlichen als Schreibfehler zu erkennen".

Wenn es sonst zu den Darlegungen nichts zu sagen gibt und teilweise die Person als Kritikpunkt ( ad hominem )
herhalten muss, kann das Fachliche ja so verkehrt nicht sein.

Eigentlich wollte ich noch die Rückkehr-Gerade und die Landeparabel bearbeiten
um alles in einer Grafik darzustellen ...

29.10.2020, 18:20

riwe

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RE: Verbundene Kurven
na ganz so unbegründet finde ich die Kritik an deinen kryptischen Beiträgen aber denn doch nicht unglücklich

so ist ja auch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{100}x^2\neq 0.005x^2 \end{eqnarray*}$

und du suchst ja auch nicht die GRÜNE sondern die BLAUE Kurve, wenn nicht einer von uns oder gar wir beide farbenbild ist oder sind.

naja, aus einer quadratischen Gleichung erhalte ich mit den beiden ersten Kurven aus deiner Grafik

$\begin{eqnarray*} t_b=200\cdot(1+\sqrt{6})\cdot(20+\sqrt{201})\approx 23579 \end{eqnarray*}$

ob´s stimmt verwirrt

29.10.2020, 20:47

Dopap

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Danke für die konstruktive Kritik,
aber trotzdem ärgerlich, wenn man a=0.01km/s^2 als Beschleunigung im Sinn hat, aber dann
dasselbe a in der Parabelgleichung y=ax^2+bx+c hinschreibt.

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