Basis einer Matrixdarstellung

25.10.2020, 14:03

MathNewcomer

Basis einer Matrixdarstellung

Meine Frage:
Hallo, da ich angefangen habe mich mit Matrixdarstellungen zu beschäftigen tat sich mir folgende Frage auf: In welcher Basis ist die Darstellung einer Matrix gegeben?
Konkret meine ich damit, wenn ich eine Matrix gegeben habe, dann ist dies ja 'nur' die Darstellung einer linearen Abbildung mithilfe einer bestimmten Basis. Nur welche Basis liegt zugrunde?

Meine Ideen:
Meine Vermutung ist, dass es sich um die Standardbasis handelt. Ich bin mir da allerdings nicht sicher, da ich es komisch fände wenn jede Matrix die man vorfindet in der Standardbasis gegeben ist. So könnte ich mir ja einfach eine Matrix ausdenken ohne mir über die Basis großartig Gedanken zu machen und da wäre das doch ein großer Zufall wenn das immer die Standardbasis ist...

Warum ich aber trotzdem denke, dass es die Standardbasis ist, ist folgendes: Lassen sich zu der Matrix n Eigenvektoren finden, wobei n die Dimension des VR sei, und nimmt man der Einfachheit halber erst mal an, dass diese linear unabhängig sind, dann lassen sich diese als Basis des VR nutzen (Eigenbasis). Außerdem lässt sich mithilfe der Eigenvektoren dann eine Transformationsmatrix aufstellen, die in die Darstellung in der Eigenbasis transformiert. Die Darstellung der Eigenvektoren erfolgt ja in der Standardbasis. Deswegen denke ich dass auch die Matrix in Eigenbasis gegeben ist. Also weil man die Eigenwertgleichung in der Standardbasis löst.

Danke für eure Hilfe schon mal und ich hoffe ich konnte mein Problem klar genug formulieren smile

25.10.2020, 14:14

Elvis

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Eine Matrix ist zunächst einmal ein rechteckiges Schema mit Koeffizienten aus einem Körper. Wenn man zwei Vektorräume und darin zwei Basen hat, stellt die Matrix eine lineare Abbildung dar. Die lineare Abbildung geht von einem Vektorraum zum anderen und ist (bei fester Matrix) abhängig von den Basen. Im übrigen bin ich der Meinung, dass es eine Standardbasis nicht gibt, weil jede Basis für sich die Standardbasis ist: jeder Basisvektor $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ einer Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ hat die eindeutige Baisdarstellung $\begin{eqnarray*} b=1\cdot b \end{eqnarray*}$ . Von Standardbasis spricht man allerdings gern, wenn man nicht mit den Vektoren sondern mit Koeffizientenvektoren arbeitet.

25.10.2020, 14:25

MathNewcomer

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Hallo Elvis, vielen Dank für die schnelle Antwort. Leider weiß ich nicht ganz, wie ich diese interpretieren kann, ich frage deshalb nochmal nach:
Sie sagen, dass die lineare Abbildung bei fester Matrix abhängig der Basis ist. Meinen Sie damit, dass die Darstellung der Matrix davon abhängt, welche Basen man den VR zugrunde legt? Wenn ja, dann ist mir das klar. Meine Frage zielt ja genau darauf ab, ob man an der Darstellung erkennen kann (bzw. das irgendwie bestimmen kann), welche Basen das sind.
Mit Standardbasis meine ich hier die kanonische Basis {(1,0,...),(0,1,...)}. In dieser stelle ich ja die Eigenvektoren dar.

Vielen Dank nochmal smile

25.10.2020, 18:04

Elvis

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Genau so ist es. Die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ stellt eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\to W \end{eqnarray*}$ dar. $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorräume, $\begin{eqnarray*} dim(V)=m, dim (W)=n \end{eqnarray*}$ . In den Spalten von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ stehen die Bilder der Basisvektoren einer beliebigen Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Die Spaltenvektoren enthalten die Komponenten der Bildvektoren $\begin{eqnarray*} f(b_j)=Ab_j=\begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1m} \\ ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nm} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 000 \\ 1 \\ 000 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{1j} \\ ... \\ a_{nj} \end{pmatrix}=\sum_{i=1}^na_{ij}c_i,\,(j=1,...,m) \end{eqnarray*}$ . Über die Basen sagt das nichts aus, über die Eigenvektoren auch nicht. Die Eigenvektoren kann man abhängig von der Matrix berechnen, diese Matrix ist abhängig von den Basen. Man muss immer voraussetzen, dass feste Basen gegeben sind, das geht, denn jeder Vektorraum hat eine Basis.

26.10.2020, 12:26

MathNewcomer

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Hallo Elvis,

vielen Dank für die Antwort. Ich denke ich komme der Sache näher auf den Grund.
Sie schreiben: In den Spalten von A stehen die Bilder der Basisvektoren einer beliebigen Basis von V. Das ist ja genau das, was beim Aufstellen der Transformationsmatrix in die Eigenbasis passiert, oder? Die Transformationsmatrix wird gebildet, indem man die Eigenvektoren, welche ja als Basis des Vektorraums dienen, als Spalten einer Matrix nimmt, welche dann die Transformationsmatrix ist. Soweit richtig?
Allerdings ist die Darstellung von Vektoren/Matrizen, also salopp gesagt welche Zahlen und Ziffern die Einträge aufweisen, ja Abhängig von der gewählten Basis. Die Basis ist frei wählbar, die Einträge der Vektoren bzw. Matrizen dann aber nicht mehr. Somit hängen auch die Einträge der bestimmten Eigenvektoren einer Matrix von einer gewählten Basis ab. Im Normalfall wählt man dann die kanonische Basis {(1,0,0,...),(0,1,0,...),...}
Die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen stellt die ursprüngliche Matrix in ihrer Eigenbasis dar, also derjenigen, die den VR mittels der Eigenvektoren der Matrix aufspannt.

Angenommen es ist folgende Matrix eines C Vektorraums gegeben:
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2i & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann hat diese Matrix ja eben diese Darstellung, welche sich auf eine bestimmte Basis bezieht. Welche wäre das? Natürlich lassen sich hier Eigenwerte und -vektoren finden. Die Eigenvektoren lassen sich durch die kanonische Basis $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2,e_3\} \end{eqnarray*}$ schreiben:
$\begin{eqnarray*} v_1 = 1e_1 + 0e_2 - ie_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2 = 1e_1 + 0e_2 + ie_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_3 = 0e_1 + 1e_2 + 0e_3 \end{eqnarray*}$
Wodurch sich eine Transformationsmatrix T aufstellen lässt, welche jedes Element des Vektorraums in einer beliebigen Reprästentation (je nach gewählter Basis des Raums) in diejenige Repräsentation transformiert, welche dasselbe Element als Linearkombination der Eigenbasis $\begin{eqnarray*} \{v_1,v_2,v_3\} \end{eqnarray*}$ beschreibt:
$\begin{eqnarray*} T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -i & i & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit gilt auch: $\begin{eqnarray*} A = TDT^{-1} \end{eqnarray*}$
Wobei D die Diagonalmatrix, also A in Darstellung ihrer Eigenbasis meint. Aber in welcher Basis wird nun A dargestellt?

Vielen Dank für Ihre Mühen mir hier weiterzuhelfen. Irgendwo hänge ich noch fest in meinen Gedanken dazu verwirrt

26.10.2020, 13:17

Luftikus

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Wenn du eine Linerare Abbildung durch eine Matrix M darstellst, dann ist zur vollständigen Beschreibung auch eine Angabe der Basen B und B' der Vektorräume erforderlich $\begin{eqnarray*} M_{B}^{B'} \end{eqnarray*}$ .
Macht man keine weitere Angaben zu den Basen, dann sind i.a. die kanonischen Basen gemeint.

26.10.2020, 15:22

MathNewcomer

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Hallo Luftikus,

vielen Dank für den Beitrag zur Diskussion.
Das heißt also für mich im Umkehrschluss, wenn eine Basis $\begin{eqnarray*} \{w_i\} \end{eqnarray*}$ des Vektorraums gegeben ist, dass dann die Eigenwertgleichung $\begin{eqnarray*} \hat{A}\hat{x}=\lambda \hat{x} \end{eqnarray*}$ , wobei der Hut ^ hier kennzeichnet, dass es sich um ein allgemeines Element des Vektorraums handelt, in der entsprechenden Basis zu lösen ist: $\begin{eqnarray*} [Ax=\lambda x]_{\{w_{i}\}} \end{eqnarray*}$ und damit die Eigenvektoren als Linearkombination dieser gegebenen Basis dargestellt werden. Stimmt das so?

Weiter interessiert mich dann, wenn die lineare Abbildung von einem Vektorraum in einen anderen abbildet, welche nicht die gleichen sind, (entschuldigt hier meine saloppe Ausdrucksweise) also formal $\begin{eqnarray*} f: V \leftarrow W \end{eqnarray*}$ , wobei diese Abbildung durch die Matrix $\begin{eqnarray*} \hat{A} \end{eqnarray*}$ beschrieben wird, welche Basis dann in der Eigenwertgleichung zu verwenden ist? Diejenige von V oder diejenige von W?
Meine Vermutung ist, dass die Basis von V zu verwenden ist, da ja x ein Element von V ist welches mittels A auf ein Element von W abgebildet wird. Stimmt meine Überlegung hier?

Vielen Dank nochmal smile

26.10.2020, 18:02

Luftikus

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Das Eigenwertproblem stellt sich nur im Falle eines Endomorphismus, die Eigenwertgleichung bezieht sich dann auf die gewählte Basis des (einen) Vektorraums:

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda E) \, v = 0 \end{eqnarray*}$

Hieraus kannst du dann ggfs. die Eigenvektoren berechnen und die Matrix in einer Basis dieser Eigenvektoren darstellen. (zB. Hauptachsentransformation)
Ob es überhaupt Eigenvektoren gibt, ist aber allgemein nicht klar. Wenn du die Hauptvektoren ermittelst, kannst du die Matrix dann in Jordansche Normalform bringen.

26.10.2020, 18:03

Elvis

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@MathNewcomer
Das stimmt alles nicht. Eigenvektoren sind basisunabhängig die Vektoren ungleich 0, die von der linearen Abbildung auf skalare Vielfache ihrer selbst abgebildet werden. Das geht selbstverständlich nur innerhalb eines Vektorraumes V. Bei linearen Abbildungen zwischen zwei verschiedenen Vektorräumen kann es keine Eigenvektoren geben.

26.10.2020, 18:38

MathNewcomer

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Hallo Elvis, Hallo Luftikus,

vielen Dank für die Antworten. Dass das Eigenwertproblem sich nur im Falle eines Endomorphismus stellt war mir nicht klar. Wieder was dazu gelernt Freude

@Elvis: Dass alles nicht stimmt kann eigentlich kaum sein, da ich die Lösung zu dem von mir angegebenen Eigenwertproblem besitze und ich durch nachrechnen auch selbst darauf komme. Ich hab dieses zum Anlass genommen, zu versuchen, mehr über Matrixdarstellungen in verschiedenen Basen zu verstehen. Es tut mir leid, sollten einige meiner Fragen arg dilettantisch sein, ich bin noch dabei mich in das Fach einzuarbeiten. Ich freue mich sehr, dass Sie und Luftikus mir trotzdem antworten smile

Sie schreiben Eigenvektoren seien basisunabhängig. Wie ist das zu verstehen? Meinen Sie damit die Eigenvektoren als allgemeine Elemente des Vektorraums? Das gilt doch für jedes Element dessen oder? Nur entsprechende Repräsentationen von Vektoren hängen von der gewählten Basis ab, aber das gilt dann auch für die Eigenvektoren. So sieht man in dem von mir gewählten Beispiel ja auch, dass die Eigenvektorendarstellung beschrieben wird mithilfe der kanonischen Basis.

Vielen Dank nochmal für die Hilfe und damit verbundene aufgewendete Zeit

26.10.2020, 19:08

Elvis

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Eigenvektoren einer linearen Selbstabbildung sind unabhängig von jeder Vektorraumbasis nur abhängig von der linearen Selbstabbildung $\begin{eqnarray*} \varphi:V\to V \end{eqnarray*}$ charakterisiert durch $\begin{eqnarray*} \varphi(v)=\lambda\cdot v,v\ne 0 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \lambda\in K \end{eqnarray*}$ . Wählt man nun eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} dim(V)=n<\infty \end{eqnarray*}$ , so hat $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bezüglich dieser Basis eine eindeutige Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , für die gilt $\begin{eqnarray*} \varphi(x)=A\cdot x\; (\forall x\in V) \end{eqnarray*}$ , und die Eigengleichung geht über in $\begin{eqnarray*} A\cdot v=\lambda\cdot v \end{eqnarray*}$ . Mit einer (nichtexistierenden) Standardbasis, kanonischen Basis oder sonstwie bevorzugten Basis hat das nichts zu tun. Für eine andere Basis hat man eben eine andere Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und eine andere Eigengleichung $\begin{eqnarray*} \varphi(v)=A\cdot v=B\cdot v=\lambda\cdot v \end{eqnarray*}$ .

26.10.2020, 19:25

Luftikus

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Zitat:

Nur entsprechende Repräsentationen von Vektoren hängen von der gewählten Basis ab, aber das gilt dann auch für die Eigenvektoren. So sieht man in dem von mir gewählten Beispiel ja auch, dass die Eigenvektorendarstellung beschrieben wird mithilfe der kanonischen Basis.

Ja, mit der Darstellung der Matrix A sind auch die Eigenvektoren als Koordinaten der Basisvektoren in der gewählten Basis des Vektorraums (in deinem Falle der kanonischen Basis) dargestellt.
Die Vektoren selbst, als Elemente eines Vektorraums, sind unabhängig der Darstellung, wie du richtig erkannt hast.

27.10.2020, 09:11

Elvis

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Ich gebe noch einmal zu bedenken, dass es keinen kanonischen Isomorphismus von einem n-dimensionalen K-Vektorraum V zum $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ gibt. Deshalb gibt es auch keine kanonische Basis von V. Spätestens dann wenn man interessante Vektorräume betrachtet wird das wichtig. Wer nur mit Koeffizienten und Algorithmen arbeiten will, versteht nicht genug von Vektorräumen. Die hohen Durchfallquoten in Klausuren zu Lineare Algebra sind m.E. darauf zurück zu führen.
MathNewcomer, deine Eingangsfrage war richtig und wichtig. Gib dich nicht mit wohlfeilen Antworten zufrieden.

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