Erwartungswert endlich bei i.i.d Zufallsvariablen

25.10.2020, 15:30

FinMa55

Erwartungswert endlich bei i.i.d Zufallsvariablen

Hallo,
ich betrachte i.i.d. Zufallsvariablen, welche Werte in den natürlichen Zahlen annehmen. Betrachte für festes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} S_k=x+k - \sum_{i=1}^k X_k \end{eqnarray*}$ .

Wenn icch weiß, dass jedes $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ einen endlichen Erwartungswert hat, kann ich dann auch auf einen endlichen Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ schließen?

$\begin{eqnarray*} E(S_k) = \sum_{i=0}^{\infty} i P(x+k-\sum_{j=1}^k X_j =i) \end{eqnarray*}$ .

Kann man hier überhaupt weiter vereinfachen

25.10.2020, 18:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von FinMa55
Wenn icch weiß, dass jedes $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ einen endlichen Erwartungswert hat, kann ich dann auch auf einen endlichen Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ schließen?

Ja. Warum nutzt du da zur Berechnung des Erwartungswerts nicht einfach dessen Linearität?

$\begin{eqnarray*} E\left(S_k\right) = E\left(x+k - \sum_{i=1}^k X_k\right) = E(x)+E(k)-E\left(\sum_{i=1}^k X_k\right) = x+k-\sum_{i=1}^k E\left(X_k\right) \end{eqnarray*}$

Unabhängigkeit sowie gleiche Verteilung der $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ wird hier gar nicht benötigt, sondern lediglich die Existenz aller Einzelerwartungswerte $\begin{eqnarray*} E\left(X_k\right) \end{eqnarray*}$ .

25.10.2020, 18:36

FinMa55

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Sorry für die wirkliche dumme Frage. Danke für deine erleuchtende Antwort smile

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