Wie beweist man Surjektivität mit Allquantoren und Existenzquantoren? |
26.10.2020, 05:01 | Enomine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Wie beweist man Surjektivität mit Allquantoren und Existenzquantoren?
Wie beweißt man eine solche Aussage? Vom Professor haben wir eine Beweisformtabelle:
Nun gibt es dort keine Existensquantoren. Meine Kommulitonen haben etwas gemacht, was sie "direkter Beweis" genannt haben. Jedoch haben wir ja in der obigen Aussage gar keine Implikation ( => ). Deswegen sehe ich nicht, wie ich "sauber" von V nach K kommen soll. Also was soll dieses K überhaupt sein? Ich hab schon über den Widerspruchsbeweis nachgedacht, indem ich die obige Aussage negiere und hoffe, dass etwas durch die Negation herauskommt, mit dem ich etwas anfangen kann. Aber auf https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3...ln_zum_Negieren habe ich leider keine Negationsregel für kombinierte Allquantoren mit Existensquantoren gefunden. PS: bei uns ist wobei sowie Danke - Enomine |
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26.10.2020, 07:56 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Um zu zeigen, daß eine Funktion surjektiv ist, gibt man sich ein beliebiges vor und zeigt, daß man genau zu diesem ein finden kann, so daß gilt. So ist jedenfalls das Grundmuster. Gerade die Analysis stellt aber Regeln und Sätze zur Verfügung, wie man die Surjektivität auch aus anderen Eigenschaften einer Funktion schließen kann. Aber hier geht es wohl um die Grundlagen. Nehmen wir ein einfaches Beispiel: Wir geben uns nun irgendein vor und müssen zeigen, daß dieses durch erreicht wird. Da verdoppelt, nehmen wir den halben Wert von als unser , also , und rechnen nach: . Wir haben uns zwar ein festes vorgegeben, aber uns nicht konkret auf seinen Wert festgelegt. Letztlich haben wir also zu jedem ein gefunden mit . Bei deiner code-Funktion fehlt sowohl die Angabe des Definitions- als auch die des Zielbereichs. Du hast lediglich die Funktionsvorschrift angegeben. Damit kann aber die Frage der Surjektivität nicht entschieden werden. |
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26.10.2020, 08:46 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
RE: Wie beweist man Surjektivität mit Allquantoren und Existenzquantoren?
meinst du so etwas wie: |
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26.10.2020, 09:08 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
@ Dopap Was soll das? Die Ersetzung der Quantoren durch ihre Booleschen Entsprechungen trägt doch nun wirklich nichts zur Aufklärung bei. Statt zu helfen überschüttest du den Fragesteller mit einem neuen, ihm vermutlich unbekannten Bezeichnungssystem. |
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26.10.2020, 10:12 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
@ Leopold: deshalb steht ein Fragezeichen dahinter. Die Schreibfiguren sind synonym und die Letztere einfach zu verstehen. |
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26.10.2020, 15:53 | Enomine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Nichts desto trotz hatte ich es verstanden, weil ich die Symbole schoneinmal gesehen hatte. ===== ===== ===== ===== ===== ===== ===== ===== ===== ===== @ Leopold: Könntest du mir noch erläutern, warum das kein Zirkelschluss ist? https://mathphys.info/vorkurs/inhalt/logik/Logik2_Skript.pdf Seite 11
=> Für alle definieren wir als Ich habe verstanden, dass wir es auf deine gezeigte Art Beweisbar ist. Vorbehaltich deiner Erklärung, warum es kein Zirkelschluss ist. ===== ===== wäre doch jetzt der Anfang eines Widerspruchbeweises - oder? Denn die Aussage A ist ja negiert worden. Kann man hier weiter machen? Dankeschön Enomine |
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26.10.2020, 16:16 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Bei der Funktion würde ich dir empfehlen, eine Wertetabelle zu erstellen, etwa . Schau dir die Werte an. Kommt jede natürliche Zahl unter den Werten von vor? Versuche, die Sache umzukehren: Wie findest du zu einem Wert sein Urbild (oder seine Urbilder)? Und dann hast du die Surjektivität ja schon. Du mußt das dann nur abstrahieren: Wie findest du zu einem ein mit ? Worauf du mit deiner Zirkelschlußfrage anspielst, verstehe ich nicht. In dieser Aufgabe sollst du die Surjektivität einer Funktion belegen oder widerlegen. Wo da der Zusammenhang zum Thema Widerspruchsbeweis ist, kann ich nicht erkennen. |
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26.10.2020, 17:26 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Bei deiner Funktion musst du nachweisen, dass jede natürliche Zahl ein Urbild hat. Dazu kannst du eine Fallunterscheidung machen (k natürlich): i) n=2k ii) n=2k-1 Jetzt musst du nachweisen, dass 2m [m>=0] bzw -(2m+1) [m<0] dieses Urbild für jeden Fall liefert. |
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26.10.2020, 18:39 | Enomine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Ja also Bestandteil der Aufgabe ist es auch mathematisch anzugeben, was ich mit getan habe. Kann ich eigentlich auch durch zeigen der Injektivität von die Surjektivität von zeigen? Muss ich dann nicht auch beweisen, dass wirklich die Umkehrfunktion von ist? Wie mache ich das? Injektivität könnte ich meiner Annahme nach über einen Direkten Beweis beweisen, da die Definition von Injektivität ja eine Implikation beinhaltet.
Dankeschön Enomine |
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30.10.2020, 10:36 | Enomine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Ich hab das mal auf zwei Wege bewiesen. 1. "Üblicher Weg" Auf die Art und und Weise, wie du es mir gezeigt hast, und wie es auch Videos zur Surjektivität aus dem Internet zeigen. 2. Ich hatte ja oben eine Definition von Surjektivität mit All-Quantor angegeben. Diese wollte ich gerne über einen Widerspruchsbeweis beweisen. Am Ende landete ich deshalb bei der Unmöglichkeit eines Gegenbeispieles, welches wiederrum auf den "Üblichen Weg" zurückgreift. Meine Frage ich zum 2. Fall, ob man das trotzdem so machen kann und der Beweis in sich so schlüssig und okay ist. Danke - Enomine [attach]52060[/attach] [attach]52061[/attach] [attach]52062[/attach] |
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