Würfel im Oktaeder

26.10.2020, 10:16	MMchen60	Auf diesen Beitrag antworten »
Würfel im Oktaeder Ich habe folgende Aufgabe: Die Abbildung zeigt ein Oktaeder, dem ein Würfel einbeschrieben wurde. Die Ecken des Würfels sind die Schnittpunkte der Seitenhalbierenden der Dreiecksseiten des Oktaeders. Stelle die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec u \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec w \end{eqnarray}$ jeweils als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec c \end{eqnarray}$ dar. Die Situation entspricht folgendem Bild: https://www.fit-in-mathe-online.de/images/analytische-geometrie/A1503L01.png Es geht mir jetzt zunächst um den Vektor $\begin{eqnarray} \vec w \end{eqnarray}$ . Hierzu habe ich mir folgende Zeichnungen genacht: https://www.fit-in-mathe-online.de/images/analytische-geometrie/A1503L02.png In diesen Grafiken sind die Dreiecke OBC sowie OCD in der Ebene aufgezeichnet. Jetzt habe ich gerechnet: https://www.fit-in-mathe-online.de/images/analytische-geometrie/A1503L99.png In der Lösung steht aber: $\begin{eqnarray} \vec w = \frac {1}{3} \cdot (- \vec a+\vec c) \end{eqnarray}$ Kann mir bitte jemand sagen, wo mein Fehler liegt?
26.10.2020, 10:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim zweiten Link hast du im oberen Bild nicht $\begin{align} \overrightarrow{OM} \end{align}$ bestimmt, sondern $\begin{align} \overrightarrow{PM} \end{align}$ , wobei $\begin{align} P \end{align}$ die Mitte von $\begin{align} O \end{align}$ und $\begin{align} B \end{align}$ sein soll. Du mußt deinen Vektor noch an $\begin{align} \overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} \vec{a} \end{align}$ anheften. Einen entsprechenden Fehler hast du auch im unteren Bild gemacht.
27.10.2020, 06:33	MMchen60	Auf diesen Beitrag antworten »
Würfel im Oktaeder Halllo, besten Dank für den Hinweis, habe meinen Fehler korrigiert und jetzt das Eregebnis der Lösung bekommen. Jetzt habe ich aber ein Problem mit dem Vektor $\begin{eqnarray} \vec u \end{eqnarray}$ . Hierzu habe ich die folgende Zeichnung angefertigt: https://www.fit-in-mathe-online.de/images/analytische-geometrie/A1503L03.png Jetzt kommt meine Rechnung: https://www.fit-in-mathe-online.de/images/analytische-geometrie/A1503L98.png In der Lösung steht aber $\begin{eqnarray} \vec u=\frac {1}{3}(-\vec a+2 \vec b-\vec c) \end{eqnarray}$ Ich habe das jetzt dreimal nachgerechnet, komme aber immer wieder zu meinem Ergebnis mit umgedrehten Vorzeichen (gut, wäre Gegenvektor) aber mit $\begin{eqnarray} 3 \vec b \end{eqnarray}$ statt 2.
27.10.2020, 08:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein $\begin{align} \overrightarrow{OP} \end{align}$ stimmt nicht. Du hast wieder vergessen, dies an den Vektor $\begin{align} \vec{b} \end{align}$ anzuheften. Wenn man das zu Ende rechnet, kommt man allerdings nicht auf den angegebenen Lösungsvektor. Da scheint ein Fehler in der Lösung vorzuliegen. Man kann sich das auch so klar machen. Nachdem man herausgefunden hat, daß $\begin{align} \vec{w} = \frac{1}{3} \left( - \vec{a} + \vec{c} \right) = \frac{1}{3} \, \overrightarrow{BD} \end{align}$ ist, wo $\begin{align} BD \end{align}$ die Diagonale im Quadrat $\begin{align} OBED \end{align}$ ist, kann man das auf $\begin{align} \vec{u} \end{align}$ übertragen, ohne erneut zu rechnen. Man geht in das Quadrat $\begin{align} OCEF \end{align}$ und nimmt die Diagonale $\begin{align} OE \end{align}$ . Dann muß gelten: $\begin{align} \vec{u} = \frac{1}{3} \, \overrightarrow{OE} = \frac{1}{3} \left( \vec{c} + \vec{a} \right) \end{align}$ Versuche es ähnlich mit $\begin{align} \vec{v} \end{align}$ .
27.10.2020, 11:41	MMchen60	Auf diesen Beitrag antworten »
Würfel im Oktaeder Hallo, wieso? der Vektor CB ist doch (b-a) und das ist mit $\begin{eqnarray} \frac {1}{2}(\vec b - \vec a) \end{eqnarray}$ doch berücksichtigt. Oder habe ich Knöpfe auf den Augen?
27.10.2020, 11:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit den Knöpfen kann ich nicht beurteilen. Was ich weiß, ist, daß du $\begin{align} \overrightarrow{CP} \end{align}$ berechnet hast, obwohl du glaubst, $\begin{align} \overrightarrow{OP} \end{align}$ berechnet zu haben. $\begin{align} \overrightarrow{OP} = \color{red} \overrightarrow{OC} + \color{black} \overrightarrow{CP} = \color{red} \vec{b} + \color{black} \overrightarrow{CP} \end{align}$
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27.10.2020, 16:24	MMchen60	Auf diesen Beitrag antworten »
Würfel im Oktaeder Oh ja, siehst du, doch Knöpfe auf den Augen. Vielen Dank für deine Geduld.

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