Gradienten-Richtung (Beweis)

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student1978 Auf diesen Beitrag antworten »
Gradienten-Richtung (Beweis)
Meine Frage:
Hallo! Wir haben folgende Angabe erhalten (siehe Bild).

Jetzt weiß ich nur nicht wie man da vorgehen soll, und zwar liegt das daran dass ich einige der Schreibweisen nicht verstehe.

1) Die Schreibweise mit dem Dreieck, was genau muss man da berechnen? In unserem Skript steht es in Verbindung mit den Jakobi-Matrizen (welche ich schon berechnen kann). Muss man hier einfach die Jakobi-Matrizen berechnen? Aber es ist keine explizite Funktion angegeben.

2) Wie ist das -d mit Strich, d und d mit Strich unten bei f zu verstehen? Wir haben einen Buchstaben unten bei einer Funktion als Parameter interpretiert, ist das hier genauso? Und wie soll man den Parameter da mit einbauen?

Entschuldigt wenn die Fragen etwas offensichtlich sind, ich bin komplett neu in dem Thema.

Meine Ideen:
Ich nehme einmal an dass man sowohl in f-d mit Strich (x), fd(x) und fd mit Strich(x) die oben genannte Gradienten-Richtung einsetzen muss und die dann miteinander vergleichen muss um die unten genannte Aussage zu beweisen. Mir ist aber unklar wie man dabei vorgehen soll.
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses "Dreieck" heisst "Nabla" und ist ein Vektor-Differentialoperator, der in deinem Fall der Gradient der skalaren Funktion f(x) ist. Er weist in die Richtung der maximalen Steigung.

Hierzu kannst du die "Richtungsableitung" betrachten und zeigen, dass die parallele Richtung maximal ist

Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du es dir anschaulich machen willst, denk dir im einfachsten Fall ein Höhenprofil über der x-y-Ebene: z = f(x,y).

Die Frage ist jetzt, wohin die grösste Steigung in einem Punkt (x0,y0) der Funktion f in der x-y-Ebene zeigt und welchen Betrag die Steigung hat. Genau das beschreibt dir der Gradient der Funktion f(x,y).
Ist f jetzt total differenzierbar, wie in deinem Fall, dann lässt sich jede Richtungsableitung (in der Ebene) nach einem Richtungs(-Einheits-)vektor n in der Ebene darstellen als grad f(x,y)*n.
Das kannst du nun von der Ebene auf beliebige Dimensionen n verallgemeinern.
student1978 Auf diesen Beitrag antworten »

@Luftikus

Vielen Dank aber ich weiß immer noch nicht genau wie ich denn jetzt den Beweis ausführen soll... Wie soll ich denn anfangen?
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib die Richtungsableitungen für entsprechende Richtungen hin:



Du kannst also Aussagen über das Skalarprodukt machen.
student1978 Auf diesen Beitrag antworten »

@Luftikus

Okay vielen Dank!
 
 
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