Lineare Abbildung f:V->V mit f^k(v)=0

27.10.2020, 08:03	Novato	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung f:V->V mit f^k(v)=0 Hallo! Es seien $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein n-dimensionaler Vektorraum und $\begin{eqnarray} f:V\to V \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung mit $\begin{eqnarray} f^k(v)=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} dim\ Kern\ f\geq n/k \end{eqnarray}$ . Ich konnte die Behauptung für $\begin{eqnarray} k=2 \end{eqnarray}$ beweisen. Dann ist nämlich $\begin{eqnarray} Bild\ f\subseteq Kern\ f \end{eqnarray}$ und mit der Dimensionsformel für das Bild und den Kern folgt $\begin{eqnarray} -n = -dim\ Kern\ f -dim\ Bild\ f \geq -dim\ Kern\ f -dim\ Kern\ f = -2dim\ Kern\ f \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} dim\ Kern\ f \geq n/2 \end{eqnarray}$ . Ich habe Schwierigkeiten, meinen Ansatz auf den allgemeinen Fall für $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray*}$ zu übertragen. Ich denke, die Dimensionsformel für Bild und Kern wird hier wohl auch benötigt. Könnte mir jemand einen Hinweis geben, der mir hilft, einen Ansatz zu finden? Vielen Dank und viele Grüße, Novato

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