Zeigen, dass Menge konvex ist

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severiney Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Menge konvex ist
Guten Tag

Ich habe folgende Menge gegeben:
Ich soll nun zeigen, dass diese Menge konvex ist. So wie ich das verstanden habe muss ich dazu zwei beliebige Punkte aus M wählen und zeigen, dass ein beliebeiger Punkt aus ihrer Konvexkombination wieder in M liegt. Ich nehme also ein und ein aus M. Die Konvexkombination dieser beiden Punkte wäre dann: a=. Ich muss also zeigen, dass für diesen Punkt a gilt, dass ist, solange . und . Wenn man das in die Gleichung einsetzt erhält man:


Wie kann ich nun zeigen, dass diese Gleichung korrekt ist? Ich habe versucht die rechte Seite mit der binomischen Formel auszumultiplizieren, kriege es aber dann nicht in eine Form vereinfacht in der es ersichtlich ist, dass die Gleichung korrekt sein muss.

So, da ich den Startpost nicht mehr editieren kann nun auf diesem Weg. Hoffe mein Problem ist verständlich. Besten Dank schonmal und einen angenehmen Abend

Severin

Willkommen im Matheboard!
Ich hab den ersten Beitrag gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet.
Viele Grüße
Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann das ganze als Spezialfall folgender Aussage ansehen:

Zitat:
Ist konvex (d.h. ein Intervall) sowie Funktion konkav, dann ist die Menge konvex.

    Nachweis: Der Konkavität der Funktion wegen gilt für Punkte

    ,

    damit ist , fertig.

Bleibt auf deine konkrete Aufgabe bezogen "nur" noch nachzuweisen, dass Funktion auf jene Konkavitätsungleichung (K) erfüllt, d.h. Behauptung

.

Äquivalent umgeformt (links ausmultipliziert sowie alles von rechts nach links gebracht) ergibt das

.

.


Alternativ könnte man den Konkavitätsnachweis bei einer zweimal differenzierbaren Funktion auch über deren zweite Ableitung führen, denn dort ist die Bedingung für alle hinreichend für Konkavität - aber ich weiß nicht, ob du derlei schon nutzen darfst.
severiney Auf diesen Beitrag antworten »

    Nachweis: Der Konkavität der Funktion wegen gilt für Punkte

    ,

    damit ist , fertig.


Danke dir erstmal. Mir ist allerdings noch nicht ganz ersichtlich, wieso der Konkavität der Funktion wegen, diese Ungleichung gelten muss. Kannst du das evtl noch ausführen?

Desweiteren funktioniert diese Methode nur, solange die Menge für die man zeigen soll, dass sie Konvex ist unter einer konkaven Funktion liegt, oder? Deckt das sämtliche möglichen konvexen Mengen ab bzw liegen alle konvexen Mengen in eine konkaven Funktion? Wenn nicht, wie würde man es in anderen Fällen zeigen?

Zu guter letzt: Ist mein Lösungsweg aus dem Startpost demnach falsch, oder würdest du einfach einen anderen wählen? Wenn er falsch ist, wieso?

Grüsse

Edit: Danke Steffen fürs Löschen des Startbeitrags smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von severiney
Mir ist allerdings noch nicht ganz ersichtlich, wieso der Konkavität der Funktion wegen, diese Ungleichung gelten muss.

(K) wird laut DEFINITION von einer konkaven Funktion gefordert.

Ganz unten zeige ich ja dann, dass Beispielfunktion dieser Definition genügt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von severiney
Desweiteren funktioniert diese Methode nur, solange die Menge für die man zeigen soll, dass sie Konvex ist unter einer konkaven Funktion liegt, oder?

Nun ja, so war ja dein M definiert. Meine Ausführungen hatten in keinster Weise den Anspruch, sämtliche konvexen Mengen in der Ebene zum Thema zu haben. Insofern stimme ich deinem "nur" zu, auch wenn ich über den leise darin enthaltenen Vorwurf die Stirn runzle.

Zitat:
Original von severiney
Deckt das sämtliche möglichen konvexen Mengen ab

Nein, es gibt ja schließlich auch andere konvexe Mengen in einem solchen Koordinatensystem: Beispielsweise kann sie so definiert sein, dass sie sowohl unter eine konkaven und zugleich auch über einer anderen konvexen Funktion liegen soll.

Prominentes Beispiel dafür wäre die Einheitskreisscheibe: Die kann man als

mit konvexen und konkaven

definieren.
severiney Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, sollte auf keinen Fall ein Vorwurf sein. Habe nur nachgefragt, da du ja nicht meinen Ansatz weiterverfolgt hast sondern mir einen neuen gezeigt hast. War wahrscheinlich von mir etwas missverständlich formuliert. Einerseits habe ich nämlich das Problem, dass ich bei meiner Menge nicht nachweisen konnte, ob sie konvex ist, andererseits versuche ich zu verstehen wie das im allgemeinen Fall funktioniert, da die Mengen bei meiner Prüfung ja variieren können. Deswegen wollte ich kurz sichergehen. Bedeutet das also, dass ich für jede gegebene Menge wieder einen neuen Ansatz brauche? Oder gibt es einen Ansatz mit dem es (zumindest in R^2) immer funktioniert?

Zusammengefasst habe ich also noch zwei Fragen:
1. Ich sehe, dass dein Lösungsvorschlag stimmt, aber wie kommt man im allgemeinen Fall auf einen solchen Ansatz? verwirrt

2. Ist mein Lösungsvorschlag aus 1 falsch? Oder ist es einfach schwierig zu zeigen, dass die Ungleichung die ich am Schluss erhalte stimmt? Mit Mengen, die eine lineare Funktion als Begrenzung haben funktioniert sie einwandfrei :/
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von severiney
da du ja nicht meinen Ansatz weiterverfolgt hast sondern mir einen neuen gezeigt hast.

Das würde ich so nicht sagen. Es war schon dein Ansatz, nur gleich in einen allgemeineren Fall eingebettet, weil das ohne großen Aufwand möglich war. Dieser allgemeinere Fall war nun nicht gleich der Fall aller konvexen Mengen, aber das war (wie gesagt) auch nicht mein Anspruch.

Zitat:
Original von severiney
1. Ich sehe, dass dein Lösungsvorschlag stimmt, aber wie kommt man im allgemeinen Fall auf einen solchen Ansatz? verwirrt

Definiere "allgemeiner Fall" in diesem Kontext, dann reden wir drüber.
severiney Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, sehe ich. könnte man also sagen, dass jede menge, die durch eine einzige Funktion beschränkt wird und deren Ableitung immer positiv, immer negativ oder immer=0 ist, konvex ist?

Zu deiner Antwort auf 1.: hmm, sowas wie jede Beliebige Menge die sich in R^2 bilden lässt. Oder wird das schon wahnsinnig komplex?

Was meinst du zu 2.?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von severiney
und deren Ableitung immer positiv, immer negativ oder immer=0 ist, konvex ist?

Ich weiß nicht, wo du das her hast. unglücklich

Wie ich oben schon sagte: Im Fall zweifacher Differenzierbarkeit ist Konkavität einer Funktion gleichbedeutend damit, dass die zweite (!) Ableitung ist.
severiney Auf diesen Beitrag antworten »

sry wenns missverständlich war. ich meine damit nicht, dass dann die funktion konvex ist, sondern die menge, deren rand die funktion ist.

btw. wieso heissen diese mengen eigentlich konvex, haben die was mit konvexen funktionen zu tun?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von severiney
ich meine damit nicht, dass dann die funktion konvex ist, sondern die menge, deren rand die funktion ist.

Genauso falsch. unglücklich
severiney Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ok, dann vergesse ich den gedanken mal lieber wieder. was ist mit den restlichen fragen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von severiney
btw. wieso heissen diese mengen eigentlich konvex, haben die was mit konvexen funktionen zu tun?

Konvexe Mengen einerseits sowie konvexe bzw. konkave Funktionen andererseits sind definiert, wie sie eben definiert sind (kannst du überall nachlesen). Was sie miteinander zu tun haben, kannst du ja u.a. hier im Thread sehen!


Hab mir mal noch Gedanken gemacht, wie man möglichst viele (alle?) konvexe Mengen im charakterisieren könnte:

Ist eine konvexe -Menge (d.h. Intervall) sowie eine konvexe und eine konkave Funktion, dann ist



eine konvexe Menge. Diese Aussage behält ihre Gültigkeit, wenn man auch oder zulässt, d.h., die jeweiligen Ungleichungsbedingungen unten oder oben weglässt.


Wirklich alle konvexen Mengen des erreicht man mit (*) nicht, aber vielleicht alle abgeschlossenen konvexen Mengen? verwirrt

Nehmen wir etwa das Innere der Einheitskreisscheibe, d.h. sowie deren Rand . Dann ist JEDE mögliche Vereinigung mit eine konvexe Menge, d.h., man kann eine beliebige Auswahl der Randpunkte zur Menge hinzunehmen oder nicht, das Ergebnis ist stets konvex. Im Fall passt nicht ins Schema (*), ist dann aber auch nicht abgeschlossen.

Man könnte nun noch überlegen, ob man (*) in dieser Hinsicht erweitern kann, aber das wird rasch kompliziert, je tiefer man drüber nachdenkt...
severiney Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Menge konvex ist
ok, dann belassen wirs doch dabei smile danke dir für den ganzen Aufwand. Eine letzte Frage noch. Ist es möglich meine Gleichung aus dem Startpost so umzuformen, dass man sieht, dass sie gilt? Btw merke ich gerad, dass da ein kleiner gleich stehen müsste, oder?

Zitat:
Original von severiney



Also diese Formel nur, dass das „gleich“ da ein „kleiner gleich“ ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hinreichend (!) für ist wegen das Bestehen der Ungleichung . Und wie man die zeigt, habe ich oben beim Konkavitätsbeweis der Funktion doch dargelegt.
severiney Auf diesen Beitrag antworten »

danke dir. angenehmes wochenende noch! smile
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