Allgemeine Lösung einer DGL durch Substitution bestimmen

28.10.2020, 13:06

Schulabfrager11

Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemeine Lösung einer DGL durch Substitution bestimmen

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich sitze jetzt schon deutlich zu lange an dieser Aufgabe und brauche langsam doch Hilfe dabei.
Es ist eine DGL erster Ordnung und man soll durch substitution die allgemeine Lösung bestimmen.
Mit meinen Ansätzen komme ich leider nicht zur Lösung.
Die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} t*x' = x*(ln(t)-ln(x)+1) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Der erste Ansatz war es erstmal durch t zu teilen, damit das x' alleine steht

$\begin{eqnarray*} x' = \frac{x*(ln(t)-ln(x)+1)}{t} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich den Teil in der Klammer substituiert: u := ln(t) - ln(x) +1
u' = $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich x' = $\begin{eqnarray*} \frac{x*(u')}{t} \end{eqnarray*}$

aber damit kann ich nichts anfangen..
Eventuell am Anfang den Bruch in drei Brüche teilen ? Aber was soll ich da dann substituieren ? vlt. x/t ?

Ich bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe

Liebe Grüße,

Herc

28.10.2020, 14:08

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Substitution hast du falsch durchgeführt: $\begin{eqnarray*} u=\ln(t)-\ln(x)+1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ differenziert ergibt zunächst

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{1}{t} - \frac{x'}{x} \end{eqnarray*}$ d.h. umgestellt $\begin{eqnarray*} x' = x\left(\frac{1}{t} - u'\right) \end{eqnarray*}$ .

Dies in die DGL eingesetzt kommt man zu $\begin{eqnarray*} u' = \frac{1-u}{t} \end{eqnarray*}$ . An letzterem sieht man, dass man mit $\begin{eqnarray*} v=\ln(t)-\ln(x) \end{eqnarray*}$ (also ohne das +1) sogar noch eine Spur besser fährt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2020, 14:40

Schulabfrager11

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schon mal für die Antwort.

Ich hab die Variablen getrennt und integriert.
Dann erhalte ich:

u(t) = -t +1 - C (C=Konstante Zahl)

Wenn ich jetzt Rücksub. u= ln(t) - ln(x) +1 dann erhalte ich nach x umgestellt

x(t) = t + e^t + C

Stimmt das so?

28.10.2020, 14:41

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Stell bitte mal deine Komplettrechnung rein, damit wir genau die Zeilen benennen können, wo die Fehler passiert sind. (Erstmal nur die zu $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ , denn das Umstellen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit fehlerhaftem $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ lohnt sich nicht.)

28.10.2020, 14:56

Schulabfrager11

Auf diesen Beitrag antworten »

Also zu u:

Also u' kann ich ja als $\begin{eqnarray*} u' = \frac{du}{dt} \end{eqnarray*}$ schreiben.

Dann steht

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dt} = \frac{1-u}{t} \end{eqnarray*}$

ich trenne die Variablen mit *dt und teile durch (1-u) und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-u}*du = \frac{1}{t}*dt \end{eqnarray*}$

Beide Integriert müssten ja dann:

$\begin{eqnarray*} -ln|u-1| = ln|t| + C \end{eqnarray*}$ hier dann |e^..

$\begin{eqnarray*} -u + 1 = t + C \end{eqnarray*}$ nach u umgestellt

$\begin{eqnarray*} u(t) = -t +1 - C \end{eqnarray*}$

28.10.2020, 14:58

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Schulabfrager11
$\begin{eqnarray*} -ln|u-1| = ln|t| + C \end{eqnarray*}$

Bis hierhin stimmt es, dann machst du haarsträubende Umformungsfehler, die darauf hindeuten, dass du mit den Potenzregeln auf Kriegsfuß stehst. Weiter geht es nach $\begin{eqnarray*} \exp(\ldots) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|u-1|} = e^C\cdot |t| \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} C_1:=\pm e^C \end{eqnarray*}$ (das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ wegen der möglichen Fälle in den Betragsauflösungen) führt das zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u-1} = C_1 t \end{eqnarray*}$ .

Anzeige

28.10.2020, 15:05

Schulabfrager11

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man... wenn ich mit der Aufgabe durch bin, wiederhole ich erstmal die ganzen Gesetze.

Ich habe da jetzt $\begin{eqnarray*} u = \frac{1}{e^C * t} +1 \end{eqnarray*}$
wobei ich e^C immer direkt als C schreibe weil beide ja im Endeffekt konstante Zahlen sind.

28.10.2020, 15:08

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ungefähr. Wobei das $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ (siehe mein letztes EDIT) ggfs. auch negative Werte annehmen darf.

28.10.2020, 15:31

Schulabfrager11

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das habe ich zu Kenntnis genommen.

Jetzt müsste doch rücksub. werden und nach x umgestellt.

Also

$\begin{eqnarray*} u = ln(t) - ln(x) +1 = \frac{1}{\pm e^C * t} \end{eqnarray*}$ | -1 | - ln(t)

$\begin{eqnarray*} - ln(x) = \frac{1}{\pm e^C * t} -1 - ln(t)<br /> \end{eqnarray*}$ | * (-1)

$\begin{eqnarray*} ln(x) = - \frac{1}{\pm e^C * t } +1 + ln(t)<br /> \end{eqnarray*}$ | e^..

$\begin{eqnarray*} x(t) = e^{- \frac{1}{\pm e^C * t }+1 + ln(t)} <br /> \end{eqnarray*}$

28.10.2020, 15:39

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch mal die Substitution mit dem Ansatz:

x(t) = t*u(t)

28.10.2020, 15:49

Schulabfrager11

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo genau soll ich das versuchen ? Meinst du von ganz anfang an ? oder wo bist du gerade ?

28.10.2020, 15:55

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja natürlich, setz das in deine ursprüngliche Diffgleichung ein und forme um.

28.10.2020, 16:00

Schulabfrager11

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kann ich das t weg kürzen und erhalte x' = u* ln(t)-ln(x)+1

Soll ich das jetzt nach x integrieren?

28.10.2020, 16:03

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

x(t) zu substituieren ("ersetzen") bedeutet, dass x(t) nicht mehr in der Gleichung auftritt.

28.10.2020, 16:09

Schulabfrager11

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh mein Fehler, dann wäre das x'(t) = u*(ln(t) - ln (u*t) +1)

Könnte ich hier x nach t ableiten, also dann x'(t) durch u(t) ersetzen?

Dann kommt u(t) = u*(ln(t) - ln (u*t) +1) raus?

28.10.2020, 16:16

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wollen hier kein x(t), mach es weg, setz die substituierte Ableitung ein! Und dann forme um.

28.10.2020, 16:18

Schulabfrager11

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kommt u(t) = u*(ln(t) - ln (u*t) +1) raus, da ist ja kein x(t) mehr

28.10.2020, 16:29

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du legst jetzt die Aufgabe beiseite und liest nochmals schleunigst nach, was die Produktregel für Ableitungen sagt.
Dann nimmst du dein gutes Lehrbuch und schaust unter Umformungen von Logarithmen nach. Dann machst du bei der Aufgabe weiter.

28.10.2020, 16:37

Schulabfrager11

Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin zugegeben bisschen verwirrt und gerade auch nicht auf dem besten Konzentrationsstand...

Ich mache mal wirklich eine Pause und gucke mir die Aufgabe später an...

aber danke schon mal im voraus

28.10.2020, 16:43

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, entspann dich ein bisschen. Dann frisch dein Wissen auf und meld dich später. smile

smile

28.10.2020, 17:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich waren wir ja auch mit dem ersten Weg fast durch - es fehlte lediglich die Rücksubstitution, bei der Schulabfrager11 leider wieder ein Fehler (+1 vergessen) unterlaufen war:

$\begin{eqnarray*} u = \ln(t)-\ln(x)+1 = \frac{1}{C_1t} + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln(x) = \ln(t)-\frac{1}{C_1t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(t) = e^{\ln(t)-\frac{1}{C_1t}} = t\cdot e^{\frac{C_2}{t}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C_2 = -\frac{1}{C_1} \end{eqnarray*}$ .

Tatsächlich klappt auch $\begin{eqnarray*} C_2=0 \end{eqnarray*}$ (auch wenn der hiesige Lösungsweg das nicht hergibt), was der speziellen DGL-Lösung $\begin{eqnarray*} x(t)=t \end{eqnarray*}$ entspricht.

28.10.2020, 20:58

Schulabfrager11

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ja die 1 habe ich weg gelassen weil sie ohne hin im nächsten verschwindet, aber sowas sollte man trotzdem aufschreiben, nicht das der Prüfer einen Punkt deswegen abzieht..

Morgen lerne ich mit Freunde, da wiederhole ich nochmal alles und gehe mit denen diese Aufgabe nochmal durch smile

smile

28.10.2020, 21:55

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Schulabfrager11
Danke, ja die 1 habe ich weg gelassen weil sie ohne hin im nächsten verschwindet

Du hast die 1 auf einer Gleichungsseite noch gelassen, auf der anderen aber bereits entfernt, und damit wird es echt falsch - muss ich dein Original nochmal zitieren?

Zitat:

Original von Schulabfrager11
Also

$\begin{eqnarray*} u = ln(t) - ln(x) {\color{red}+1} = \frac{1}{\pm e^C * t} \end{eqnarray*}$ | -1 | - ln(t)

Da du den Fehler dann bis zum Ende mitschleifst, war es mitnichten nur der Schreib- bzw. Formfehler, zu dem du ihn gerade eben kleinreden wolltest. unglücklich

unglücklich

28.10.2020, 23:00

Schulabfrager11

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ne, du hast vollkommen recht, ich dachte ich hab das ganz weggelassen.

Ich hab das einmal vor mir auf dem Papier und dann hier digital, da schaue ich mir manchmal nur eins davon an und das ist dann anders, als das andere Hammer

Hammer

Ja so ist das aufjedenfall falsch, dass kann man nicht kleinreden

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »