Pareto Zufallsvariable (diskret?)

29.10.2020, 15:35

StochAna32

Pareto Zufallsvariable (diskret?)

Hallo,
ich betrachte eine Pareto verteilte Zufallsvariable X, für die gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X=k) = \frac{1}{k^a} - \frac{1}{(k+1)^a} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,2,... \end{eqnarray*}$

Warum ist das hier eine pareto verteile Zufallsvariable, die noch dazu diskret ist. Laut Wiki handelt sich um eine stetige Verteilung. Ist der Name vllt an der Stelle falsch verwirrt

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

29.10.2020, 15:48

HAL 9000

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In der Tat kenne ich die Pareto-Verteilung auch nur als stetige Verteilung. Rundet man aber eine stetige paretoverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y\sim \operatorname{Par}(\alpha,1) \end{eqnarray*}$ auf die nächste ganze Zahl ab, d.h. per $\begin{eqnarray*} X=\lfloor Y\rfloor \end{eqnarray*}$ , dann bekommt man genau die von dir angegebene diskrete Verteilung. Insofern kann man da schon einen Zusammenhang sehen, vielleicht wäre der Begriff "diskret paretoverteilt" dann angemessen, auch wenn ich den noch nie gehört habe. Augenzwinkern

Sozusagen als Parallele zu ähnlichem Verhalten zwischen stetiger und diskreter Gleichverteilung: Ist für ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ stetig gleichverteilt auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} X=\lfloor Y\rfloor \end{eqnarray*}$ diskret gleichverteilt auf $\begin{eqnarray*} \{a,a+1,\ldots,b-1\} \end{eqnarray*}$ .

29.10.2020, 15:59

StochAna32

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Perfekt. Vielen Dank.

Ich hätte noch eine Frage dazu: Käme man zu einer einfachen geschlossenen Form, wenn man die Faltung berechnen würde.

Und zwar möchte ich: $\begin{eqnarray*} P(X_1+...+X_n) \end{eqnarray*}$ unter der Voraussetzung berechnen, dass die $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ i.i.d sind.

29.10.2020, 16:01

StochAna32

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Zitat:

Original von StochAna32

Und zwar möchte ich: $\begin{eqnarray*} P(X_1+...+X_n) \end{eqnarray*}$ unter der Voraussetzung berechnen, dass die $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ i.i.d sind.

Ich meinte: $\begin{eqnarray*} P(X_1+...+X_n=k) \end{eqnarray*}$ smile

29.10.2020, 16:18

HAL 9000

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Fangen wir mal klein an: $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ und damit dann

$\begin{eqnarray*} P(X_1+X_2=k) = \sum_{j=1}^{k-1} P(X_1=j)P(X_2=k-j) = \sum_{j=1}^{k-1} \left( \frac{1}{j^{\alpha}}-\frac{1}{(j+1)^{\alpha}}\right)\left( \frac{1}{(k-j)^{\alpha}}-\frac{1}{(k-j+1)^{\alpha}}\right) \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe deine Frage so, dass du dir da eher eine "geschlossene Formel" (d.h. ohne diese lästige Summation) erhoffst: Ich fürchte, das wird nix - und für größere $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wird es noch schlimmer.

Für sehr große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bleibt dir im Fall $\begin{eqnarray*} \alpha>2 \end{eqnarray*}$ allenfalls noch der Zentrale Grenzwertsatz, um zumindest eine Näherung der Summenverteilung von $\begin{eqnarray*} X_1+\ldots+X_n \end{eqnarray*}$ zu bekommen.

29.10.2020, 16:49

StochAna32

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Ich hatte mir erhoft, dass man vllt eine Auusage über die gemeinsame Verteilung treffen kann, z.B., die Summe der Zufallsvariablen ist dann Pareto verteilt mit $\begin{eqnarray*} (n \cdot \alpha ,1) \end{eqnarray*}$ . Das geht wohl nicht. Kann man für den allgmeinen Fall für n Zufallsvariablen wenigstens eine für einen Rechner programmierbare Form herleiten?

29.10.2020, 19:40

HAL 9000

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Na sicher kannst du das rekursiv anlegen: Mit $\begin{eqnarray*} S_n := X_1+\ldots+X_n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} S_n = S_{n-1}+X_n \end{eqnarray*}$ , für die sich daraus ergebenden Faltung gilt

$\begin{eqnarray*} P(S_n = k) = \sum_{j=1}^{k-n+1} P(S_{n-1}=k-j) P(X_n=j) = \sum_{j=1}^{k-n+1} P(S_{n-1}=k-j) \cdot \left( \frac{1}{j^{\alpha}} - \frac{1}{(j+1)^{\alpha}}\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq n \end{eqnarray*}$ ,

und für $\begin{eqnarray*} k<n \end{eqnarray*}$ ist eh $\begin{eqnarray*} P(S_n=k)=0 \end{eqnarray*}$ .

29.10.2020, 20:49

StochAna32

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Vielen Dank. Der Asugangsfall ist dann einfach die Berechnung von $\begin{eqnarray*} X_1=S_1 \end{eqnarray*}$ und die Rekursion gilt dann für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ .

Wie bist du genau auf die obere Summengrenze gekommen. Für den Fall n=2 kommt das genau hin.

Wie waren da deine Überlegungen?

30.10.2020, 06:25

HAL 9000

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Nochmal ausführlicher: $\begin{eqnarray*} S_{n-1} \end{eqnarray*}$ als Summe von $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Zufallsgrößen, die sämtlich $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ sind, nimmt nur Werte $\begin{eqnarray*} \geq n-1 \end{eqnarray*}$ an. Insofern muss man $\begin{eqnarray*} P(S_{n-1}=k-j) \end{eqnarray*}$ nur für Indizes $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ betrachten, welche $\begin{eqnarray*} k-j\geq n-1 \end{eqnarray*}$ erfüllen, was umgestellt $\begin{eqnarray*} j\leq k-n+1 \end{eqnarray*}$ bedeutet.

30.10.2020, 16:18

StochAna32

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Alles klar. Vielen Dank für deine Unterstützung smile

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