Erklärung Dimensionsformel |
| 29.10.2020, 22:23 | InfoJohny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Erklärung Dimensionsformel Guten Abend zusammen, Ich Studiere gerade Informatik an einer FernUni. Momentan mache ich hauptsächlich Mathe. Nun bin ich bei der Linearen Algebra angekommen. Soweit habe ich die meisten Sachen verstanden. Nur bereitet mit das Thema Dimensionen Probleme. Meine Ideen: Was ich weiß: Damit ein Vektor einen Basis hat, muss die Basis linear unabhängig sein. Die Basis befindet sich im Erzeugendensystem. Was der Austauschsatz von Steiniz ist weiß ich auch. Nun bin ich aber total durcheinander bei dem Thema Dimensionen und Dimensionsformel. Kann mir vielleicht jemand das Thema Dimensionen erklären. Vielen Vielen Dank euch schon einmal für eure Rückmeldung. Viele Grüße Johannes |
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| 30.10.2020, 04:33 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Erklärung Dimensionsformel Mir scheint, es gilt bei diesem Problemthema zunächst die sprachliche Präzision voranzustellen.
1. Ein Vektorraum hat eine Basis. 2. Die Basisvektoren sind per definitionem linear unabhängig. Damit ist der zitierte Finalsatz obsolet, denn kein Vektorraum steht im Umkehrschluß basislos da, weil alle seine Basen linear abhängig sind. Mit so einer Formulierung kann man sich aber z. B. in einer mündlichen Prüfung gleich als unsicherer Kandidat zu erkennen geben. Etwaige allgemeine Ausführungen zur Dimension gebe ich für Andere frei. |
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| 30.10.2020, 11:55 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jeder Vektorraum hat eine Basis. Das ist ein sehr tiefliegender Satz, für dessen Beweis man das Zornsche Lemma benötigt (oder ein dazu äquivalentes Axiom, z.B. das Auswahlaxiom). Der Sinn einer Basis besteht darin, dass man jeden Vektor eindeutig als endliche Linearkombination aus Basisvektoren darstellen kann. Jeder Vektorraum hat eine Basis. Das ist eine typische Formulierung der Mathematiker, denn es heißt einerseits, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, es heißt andererseits, dass jeder Vektorraum viele, meistens sogar unendlich viele verschiedene Basen hat. Nun kommt die Dimension ins Spiel. Je zwei Basen eines Vektorraums haben die gleiche Mächtigkeit, für endliche Basen heißt das, sie haben gleich viele Vektoren. Die Mächtigkeit einer Basis und damit aller Basen heißt Dimension des Vektorraums. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Eine Basis ist ein maximales linear unabhängiges System. Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem. (Was meinst du mit "Dimensionsformel" ? Es gibt so viele Formeln mit diesem Namen, dass du genauer sagen musst, welche Probleme du hast.) |
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