Zufallsvariablen finden sodass Summe eine gewisse Verteilungsfkt hat

30.10.2020, 09:18

2343465a

Zufallsvariablen finden sodass Summe eine gewisse Verteilungsfkt hat

Wie kommt man denn hier auf die Lösung $\begin{eqnarray*} I \sim Bernoulli (p), X\equiv 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \sim uniform(2,4) \end{eqnarray*}$ ?

Ich meine jetzt nicht erraten und nachprüfen sondern nach welcher Methode geht man hier vor=

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30.10.2020, 09:43

HAL 9000

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Wir stellen zunächst anhand der Definition $\begin{eqnarray*} Z=IX+(1-I)Y \end{eqnarray*}$ fest, dass $\begin{eqnarray*} P(Z\in B \mid I=0) = P(Y\in B | I=0) = P(Y\in B) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(Z\in B \mid I=1) = P(X\in B | I=0) = P(X\in B) \end{eqnarray*}$ ist, d.h. die Bernoulliverteilte Größe $\begin{eqnarray*} I\sim B(1,p) \end{eqnarray*}$ steuert, dass mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} (1-p) \end{eqnarray*}$ die Verteilung von Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ (stetig gleichverteilt) und mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ die Verteilung von Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (diskret) zum Zuge kommt.

Wie man nun sieht, hat $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ einen Sprung der Höhe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , was der diskrete Teil erledigen muss. Dieses $\begin{eqnarray*} P(Z=2)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ bedeutet in dem Modell hier zwangsläufig $\begin{eqnarray*} P(I=1)P(X=2)=p\cdot P(X=2)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X=2 \end{eqnarray*}$ (konstant, d.h. nichtzufällig).

Die dritte Zeile der Definition von $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ zeigt nun, dass der stetige Teil $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ einer Gleichverteilung auf dem Intervall [2,4] genügen muss, d.h., $\begin{eqnarray*} Y\sim \operatorname{unif}(2,4) \end{eqnarray*}$ .

31.10.2020, 09:01

2343465a

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Du schließt sofort auf $\begin{eqnarray*} X\equiv 2 \end{eqnarray*}$ . Ich hätte zuerst mal auf $\begin{eqnarray*} P(X=2)=1 \end{eqnarray*}$ geschlossen und dann argumentiert "es gibt sonst keine Sprungstelle, also muss $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ identisch gleich 2 sein". Ist das so okay?

Kannst du den Teil mit der stetigen Gleichverteilung nochmal erklären?

Wir haben
$\begin{eqnarray*} F_Y(x)=\frac{x-2}{4-2} \end{eqnarray*}$

31.10.2020, 09:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von 2343465a
Du schließt sofort auf $\begin{eqnarray*} X\equiv 2 \end{eqnarray*}$ . Ich hätte zuerst mal auf $\begin{eqnarray*} P(X=2)=1 \end{eqnarray*}$ geschlossen und dann argumentiert "es gibt sonst keine Sprungstelle, also muss $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ identisch gleich 2 sein". Ist das so okay?

Ja, das ist Ok. Wenn wir mehrere Sprungstellen hätten, dann müsste sich der diskrete Teil auf mehrere Werte erstrecken.

Ok, den stetigen Teil nochmal ganz ausführlich: Für $\begin{eqnarray*} 2\leq x\leq 4 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{4} = F(x) = P(Z\leq x) = P(Z\leq x,I=1) + P(Z\leq x,I=0) = P(X\leq x,I=1) + P(Y\leq x,I=0) = P(X\leq x)P(I=1) + P(Y\leq x)P(I=0) = 1\cdot \frac{1}{2} + P(Y\leq x)\cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ,

umgestellt ergibt das $\begin{eqnarray*} P(Y\leq x) = \frac{x-2}{2} \end{eqnarray*}$ , was der Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} \operatorname{unif}(2,4) \end{eqnarray*}$ in diesem Intervall entspricht.

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