Beweis der Bijektion (total, injektiv, surjektiv) einer Funktion

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Enomine Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Bijektion (total, injektiv, surjektiv) einer Funktion
Hi,

habe eine Aufgabe mal etwas ausführlicher gemacht, als jemand das normalerweise machen würde. Da ich mir so viel Arbeit gemacht habe und verschiedene Methoden aufgeschrieben habe, würde ich gerne wissen, ob ich denn irgendwo Fehler oder Mängel eingebaut habe.

Findet ihr im Folgenden Fehler oder Mängel?

Desweiteren habe ich eine Frage zur Kontraposition bei der Injektität (siehe Bilder). Im Fall 3 und 4 komme ich auf einen Widerspruch heraus, welches ich als False interpretiere. Da man aus False alles schließen kann (Deduktionstheorem), schließe ich daraus dann das was ich brauche, um Injektivität zu beweisen.
Ist das so okay?


Danke - Enomine

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Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast dir viel Mühe gemacht. Es mag dir unhöflich erscheinen, daß ich mich diesem Text nicht widme. Aber es ist mir zu viel Aufwand für den doch recht kleinen Ertrag. Es erscheint mir jedenfalls einfacher, die mutmaßliche Umkehrfunktion konkret anzugeben und dann nachzuweisen, daß es die Umkehrfunktion ist. Dann sind alle Aufgaben (Injektivität, Surjektivität) mit einem Mal erledigt. Zur Abkürzung verwende ich . Unser Kandidat für die Umkehrfunktion ist, wie von dir herausgefunden,



Daß wohldefiniert ist, ist offensichtlich (gerade Zahlen lassen sich in halbieren, und um 1 erhöhte ungerade Zahlen sind gerade). Nun sind zwei Dinge nachzuweisen:



Beginnen wir mit dem ersten. Sei dazu .

1. Fall: gerade, also mit geeignet.



2. Fall: ungerade, also mit geeignet.



Für alle ist damit nachgewiesen. Für die Funktionen als Ganzes ausgesprochen heißt das



Jetzt weist man noch nach. Dann ist als Umkehrabbildung von nachgewiesen. Ab dann darf man auch schreiben.
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