Komplexe Zahl - Zahlenbereich definieren

31.10.2020, 23:54

Alex998

Komplexe Zahl - Zahlenbereich definieren

Hi,
ich lese mich gerade beim Thema Komplexe Zahlen ein, was grds. sehr interessant ist auch für angewandte Bereiche, nur ich habe keinen Plan wie ich das Bsp) anbei ohne Vorkenntnisse lösen bzw. Beweise aufstellen soll? unglücklich

Danke!
LG

01.11.2020, 00:30

klauss

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RE: Komplexe Zahl - Zahlenbereich definieren
Das sind eigentlich nur Aufwärmaufgaben, mit denen ein paar elementare Zusammenhänge gezeigt werden sollen. Dies ist durch stures Einsetzen und Umformen der gegebenen Voraussetzungen zu erledigen.
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left(z+\overline{z}\right) =\frac{1}{2}\left[\left(a+jb\right)+\left(a-jb\right) \right]=\frac{1}{2}\cdot 2a=a=Re(z) \end{eqnarray*}$
usw. in diesem Stil.

01.11.2020, 15:05

Alex998

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Danke Klauss!

Im (z) = 1/2 j * [(a + jb) - (a - jb)] = 1/2j * 2 jb = j²b = -b

Bei den anderen muss ich noch rausfinden, was der Betrag bzw. Doppelstrich über z bedeutet.

01.11.2020, 15:14

klauss

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Zitat:

1/2j * 2 jb = j²b = -b

Na das stimmt schon mal nicht und erfüllt auch nicht die Behauptung.
Vielmehr:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2j} \cdot 2jb=b=Im(z) \end{eqnarray*}$

01.11.2020, 15:29

Alex998

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*argl* das 2j steht im Nenner, alles klar !!

01.11.2020, 16:52

Alex998

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b)
habe ich z quer = a - jb => z doppelquer = a + bj = z

c)
(a - j b) + (c - j d) ---> das wars? Erstaunt1

d)
(a + jb) * (a - jb) = a² + a * jb - a * jb - j²b² = a² - (-1) * b² = a² + b²

= |z|² (=|z²|) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{a²+b²} \end{eqnarray*}$ ² = a² + b²

e)
|z| = $\begin{eqnarray*} \sqrt{a²+b²} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{a²+(-b)²} \end{eqnarray*}$ = |z quer| --> stimm das?

01.11.2020, 17:07

klauss

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RE: Komplexe Zahl - Zahlenbereich definieren
Im Großen und Ganzen richtig, nur bei der c) mußt Du um einiges ausführlicher werden.
Insbesondere auf der linken Seite erst Real- und Imaginärteil zusammenfassen und dann konjugieren.

01.11.2020, 17:10

Alex998

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Danke, ich habs schon (konnte nur nich Beitrag editieren):

c)
zuerst z+w kalkulieren: ergibt a+c + j (b+d)

-> konjugiert z+w_quer = a+c - j (b+d)

-> das ist wiederum dasselbe als wenn man z_quer und w_quer einzeln konjugiert und dann addiert.

01.11.2020, 17:15

klauss

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RE: Komplexe Zahl - Zahlenbereich definieren
Dann paßts ja.

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