Glm. Hölder-stetig mit kleinerem Exponenten

01.11.2020, 18:57	hoelder12	Auf diesen Beitrag antworten »
Glm. Hölder-stetig mit kleinerem Exponenten Seien $\begin{eqnarray} (S,\rho) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (T,d) \end{eqnarray}$ metrische Räume. Sei $\begin{eqnarray} (S,\rho) \end{eqnarray}$ vollständig und $\begin{eqnarray} D\subseteq T \end{eqnarray}$ dicht. Weiters sei $\begin{eqnarray} f: D \to S \end{eqnarray}$ gleichmäßig Hölder stetig mit Exponent $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ in dem Sinne Es existiert eine Konstante $\begin{eqnarray} K \in \mathbb R_+ \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} \rho(f(s),f(t))\leq K(d(s,t))^c,\ \ \ s,t\in D\ \mathrm{mit}\ d(s,t)<1 \end{eqnarray}$ Warum gilt die Ungleichung dann auch für alle $\begin{eqnarray} c' \in (0,c] \end{eqnarray}$ ? (mit gleichem $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ )
02.11.2020, 15:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glm. Hölder-stetig mit kleinerem Exponenten Das folgt sofort aus der Monotonie von $\begin{eqnarray} p \mapsto q^p \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} q \in [0,1] \end{eqnarray}$ ist die Funktion monoton fallend (und für $\begin{eqnarray} q > 1 \end{eqnarray}$ monoton wachsend). Das kann man mit der Monotonie der Exponentialfunktion begründen.

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