Komplexe Zahl - 3. Wurzel

02.11.2020, 00:28	Alex998	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahl - 3. Wurzel Hi, kann mir jemand weiterhelfen wie man hier "alle Lösungen" findet? soweit komme ich: z = 3 * $\begin{eqnarray} 3\sqrt{-j} \end{eqnarray}$ oder statt Wurzel ^(1-3)
02.11.2020, 03:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung gelingt gut über die Exponentialform (Polarform) $\begin{eqnarray} z = r \cdot exp(j\varphi) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} z^3 = -27j = 27 \cdot e^{(\frac{3\pi} 2+2k\pi)}; \ k \in \{0, 1, 2\} \end{eqnarray}$ ; [die Periodenlänge des $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 2\pi] \end{eqnarray}$ --------------- Analog geht es auch mit der trigonometrischen Schreibweise und Anwendung des Satzes von Moivre: $\begin{eqnarray} z^3 = -27j = 27\left(\cos \left(\frac{3\pi} 2+2k\pi\right) + j \left(\sin \frac{3\pi} 2+2k\pi\right)\right); \ k \in \{0, 1, 2\} \end{eqnarray}$ -------------- Danach wird die (reelle) 3. Wurzel aus dem Betrag berechnet und der jeweils den 3 Werten von k entsprechende Winkel geteilt ... () $\begin{eqnarray} (\cos \varphi + j \sin \varphi)^n = \cos n\varphi + j \sin n\varphi \end{eqnarray}$ mY+
02.11.2020, 09:09	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
... und wie üblich auch hier der Hinweis auf unseren Workshop: [WS] Komplexe Zahlen Viele Grüße Steffen
02.11.2020, 09:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man sich erinnert, daß $\begin{align} \operatorname{j}^3 = - \operatorname{j} \end{align}$ und $\begin{align} 3^3 = 27 \end{align}$ ist, dann könnte man auf den Gedanken kommen, es mit der Substitution $\begin{align} z = 3 \operatorname{j} \cdot w \end{align}$ zu versuchen. $\begin{align} z^3 = -27 \operatorname{j} \ \ \Leftrightarrow \ \ w^3 = 1 \end{align}$ Man kommt dann bei den dritten Einheitswurzeln an.

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