Komplexe Zahl - Graphen

02.11.2020, 01:05

Alex998

Komplexe Zahl - Graphen

Hi,
habe anbei versucht erstmals komplexe Zahlen zu zeichnen.

Aufgaben a), b) habe ich skizziert. c) verstehe ich nicht.

Danke für Feedback/Lösungen!

LG

02.11.2020, 02:44

mYthos

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c)

Setze $\begin{eqnarray*} z = x + y \cdot j \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} |(x+2)+(y-1)j| \leq 1 \end{eqnarray*}$ ...

mY+

02.11.2020, 09:21

Leopold

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Die Übersetzung ins Reelle ist nicht erforderlich, wenn man sich ein für alle Mal klarmacht, daß die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen mit der Addition und Subtraktion von Vektoren des $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \end{align*}$ identifiziert werden können und auch der Betrag einer komplexen Zahl dem Betrag eines Vektors entspricht. Diese Dinge lernt man üblicherweise, wenn diese Operationen eingeführt werden. Dann ist klar, daß für komplexe $\begin{align*} z,w \end{align*}$ der Term $\begin{align*} \left| z-w \right| \end{align*}$ gerade den Abstand der beiden Punkte in der Gaußschen Ebene angibt. Und entsprechend kann auch $\begin{align*} \left| \, z + 2 - \operatorname{j} \, \right| \leq 1 \end{align*}$ , oder leicht umgeschrieben $\begin{align*} \left| \, z - \left( -2 + \operatorname{j} \right) \, \right| \leq 1 \end{align*}$ sofort geometrisch interpretiert werden.

20.11.2020, 00:28

Alex998

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Dank dir Leopold für den Hinweis!

Um es zu zeichnen, muss dein Ausdruck nicht umgeformt werden?

Verspätet meine Lösung für c)

Da scheint mir dein Ausdruck komplizierter bzw. für nicht-Matheprofis fehleranfälliger?!

20.11.2020, 01:34

mYthos

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Zitat:

Original von Leopold
... Dann ist klar, daß für komplexe $\begin{align*} z,w \end{align*}$ der Term $\begin{align*} \left| z-w \right| \end{align*}$ gerade den Abstand der beiden Punkte in der Gaußschen Ebene angibt. Und entsprechend kann auch $\begin{align*} \left| \, z + 2 - \operatorname{j} \, \right| \leq 1 \end{align*}$ , oder leicht umgeschrieben $\begin{align*} \left| \, z - \left( -2 + \operatorname{j} \right) \, \right| \leq 1 \end{align*}$ sofort geometrisch interpretiert werden.

Dabei ist eigentlich nichts kompliziert und theoretisch auch nicht fehleranfällig Big Laugh

Die Ungleichung von Leopold sagt nichts anderes aus, als dass die Spitzen aller gesuchten Zeiger $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ vom Ort -2 + j nicht weiter entfernt sind als 1 E (Einheit).
So kommt man schnell und elegant zu dem Kreis-Gebiet (Punktmenge innerhalb und auf dem Kreis) mit Mittelpunkt (-2|1) und dem Radius 1.

Die Schreibweise z = -2 + j ist in diesem Falle nicht richtig (!), denn diese komplexe Zahl bezeichnet den Mittelpunkt und nach z soll erst aufgelöst werden.
--------------

Meinem ursprünglichen Tipp folgend, erreicht man diese Lösung auch:

$\begin{eqnarray*} z = x + y \cdot j \ \to \ |(x+2)+(y-1)j| \leq 1 \end{eqnarray*}$ .. den Betrag auflösen:

$\begin{eqnarray*} (x + 2)^2 + (y - 1)^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$

das ist - mit dem Gleichheitszeichen - eben die Gleichung eines Kreises, M(-2|1) und r = 1, der als Peripherie das Lösungsgebiet umschließt.

mY+

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