Differential- und Integralrechnung (Beweis)

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student1978 Auf diesen Beitrag antworten »
Differential- und Integralrechnung (Beweis)
Meine Frage:
Hallo! Wir müssen beweisen, dass für ein E enthalten in (a, b) sodass die Aussage (siehe Bild) gilt. Wir sollen dafür den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und den Satz von Rolle verwenden.

Meine Ideen:
Der rechte Ausdruck ist ja praktisch identisch zu dem im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Den Satz von Rolle könnte man wahrscheinlich benutzen da darin auch ein E vorkommt. Aber wie genau man das anstellen soll weiß ich nicht. Ein Beweisanfang würde mir schon etwas weiterhelfen.
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differential- und Integralrechnung (Beweis)
Hallo,

betrachte die Funktion:



Wobei F eine Stammfunktion von f ist. Offenbar gilt g(a) = g(b), sodass du hier den Satz von Rolle anwenden kannst. Die Aussage des obigen Satzes folgt dann automatisch.

Viele Grüße,
Nils
student1978 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differential- und Integralrechnung (Beweis)
@Nils Hoppenstedt

Vielen Dank das macht Sinn!

Der Satz von Rolle ist hier also möglich, da die vier Voraussetzungen gelten:
f: [a, b] -> R ist stetig
f(a) = f(b)
a < b
(a, b) ist differenzierbar
Demnach existiert ein E enthalten in (a, b) sodass f'(E) = 0 gilt. Da f'(E) = (f(a)-f(b)) / (b-a), gibt es somit ein E sodass diese Funktion 0 wird.

Jetzt weiß ich nicht mehr so richtig weiter. Den rechten Ausdruck der zu beweisenden Aussage kann man ja auch als F(b) - F(a) schreiben. Wenn f(a) = f(b) gilt, dann gilt aber nicht unbedingt F(a) = F(b) oder? Und ich weiß auch nicht wirklich was ich mit dem b-a auf der linken Seite anfangen soll. Nur weil f(a) = f(b) muss noch lange nicht a = b gelten oder?
student1978 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differential- und Integralrechnung (Beweis)
@Nils Hoppenstedt

Moment ich glaube ich habe es jetzt. Gleich zumindest. Es entsteht ja durch die in meiner ersten Antwort genannten Schritte die folgende Äquivalenz:

f(E)(b-a) = F(b)-F(a)

Wenn man jetzt einfach durch (b-a) teilt, dann kommt das hier dabei raus:
f(E) = (F(b)-F(a)) / (b-a)

Und der rechte Ausdruck entspricht mit diesem E ja 0, also gilt:
f(E) = 0

Und demnach existiert so ein E oder? Reicht das denn schon für den Beweis?
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differential- und Integralrechnung (Beweis)
Moment, die Voraussetzungen des Satzes von Rolle sind erstmal nur für die Funktion g erfüllt, i.A. aber nicht für f. Es gibt also ein x0 mit g'(x0) = 0.

Was steht denn da, wenn du g'(x0) = 0 mit obigen Ausdruck für g berechnest?

- Nils
student1978 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differential- und Integralrechnung (Beweis)
@Nils Hoppenstedt

Welcher obige Ausdruck ist denn gemeint?
 
 
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Der in meiner ersten Antwort.
student1978 Auf diesen Beitrag antworten »

@Nils Hoppenstedt

Muss man g(x) dafür ableiten?
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
student1978 Auf diesen Beitrag antworten »

@Nils Hoppenstedt

Also g(x) abgeleitet wird ja g'(x) = f'(x) - (f'(b)-f'(a)) * (x-a) + (f(b)-f(a)) / (b-a). Zumindest habe ich das herausbekommen.

Wie soll ich denn g'(x0) = 0 mit obigen Ausdruck für g berechnen? Also was muss ich wo einsetzen?
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Hui, da hast du dich noch etwas vertan:

1. F(x) abgeleitet ergibt f(x) (und nicht f'(x))

2. Der Term ist konstant.

Bitte nochmal probieren...

Viele Grüße,
Nils
student1978 Auf diesen Beitrag antworten »

@Nils Hoppenstedt

Aber in der Angabe die wir bekommen haben steht nicht F(x) sondern f(x) in der Formel... Dass der Term konstant ist bedeutet dass er in der Ableitung genauso bleibt? Und warum ist er überhaupt konstant? Weil er 0 ist?

Ich komme mir echt blöd vor jetzt...
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von student1978
Aber in der Angabe die wir bekommen haben steht nicht F(x) sondern f(x) in der Formel...


Da f integrierbar ist, existiert auch die Stammfunktion F.

Zitat:
Original von student1978
Dass der Term konstant ist bedeutet dass er in der Ableitung genauso bleibt?


Aber natürlich bedeutet es das!

Zitat:
Original von student1978
Und warum ist er überhaupt konstant? Weil er 0 ist?


Er ist konstant, da er nicht von x abhängt (aber er ist i.A. nicht Null).

Viele Grüße,
Nils
student1978 Auf diesen Beitrag antworten »

@Nils Hoppenstedt

Vielen Dank für deine vielen Erklärungen. Ich werde dich jetzt nicht weiter belästigen weil ich offenbar zu blöd für diese Aufgabe bin... Ich gebe es auf. Vielleicht werde ich das im Unterricht besser verstehen.
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, vielleicht habe ich mich auch nicht klar genug ausgedrückt. Also ich meinte folgendes:

Sei:



wobei F eine Stammfunktion von f ist. Offenbar gilt g(a) = g(b), wir können also den Satz von Rolle anwenden, d.h. es gibt ein x0 aus [a, b] mit g'(x0) = 0. Also:



Umstellen ergibt:



Das war's auch schon.

Viele Grüße,
Nils
student1978 Auf diesen Beitrag antworten »

@Nils Hoppenstedt

Nein du hast es schon sehr gut erklärt finde ich. Ich brauche wohl nur etwas Zeit um mich in dieses Thema hineinzufinden. Vielen Dank noch einmal für die Mühe!
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