Vektorwinkel passt nicht

02.11.2020, 18:07	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorwinkel passt nicht Ich soll aus drei Punkten die länge der 3 seiten eines Dreiecks und deren Winkel bestimmen. Gegeben habe ich nur die Punkte, aus denen habe ich mir die Vektoren berechnet. $\begin{eqnarray} \vec{a}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{c}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die längen passen, nur bei einem Winkel verstehe ich etwas nicht. Die Winkel rechne ich mit der Formel: $\begin{eqnarray} \frac{\vec{a} \vec{c}}{\|\vec{a}\|\| \vec{c}\| } \end{eqnarray}$ Für den Winkel: $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ (gerechnet mit: $\begin{eqnarray} \vec{a} \vec{b}=54,16° \end{eqnarray}$ ) und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ (gerechnet mit: $\begin{eqnarray} \vec{b} \vec{c} =48,37° \end{eqnarray}$ ) passen die Winkel. Aber bei Gamma komme ich mit der Formel immer auf einen Winkel von: 102,53° Wenn ich jetzt 180° abziehe, dann passt der Winkel. Aber warum muss ich 180° abziehen? Wieso passt die Formel bei den anderen Winkeln? VG
02.11.2020, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage: Warum komme ich auf $\begin{eqnarray} \alpha=36,87°,\beta=102,53°,\gamma=40,6° \end{eqnarray}$ ? Antwort: Weil ich GeoGebra habe.
02.11.2020, 19:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Angaben sind verwirrend. Was sind $\begin{align} \vec{a}, \, \vec{b}, \, \vec{c} \end{align}$ ? Sind das die begleitenden Vektoren der Dreiecksseiten? Dann ist es für die Winkelberechnung überhaupt nicht egal, wie diese Vektoren gerichtet sind. Sinnvoller ist es, mit den Eckpunkten des Dreiecks zu arbeiten. Klassischerweise nenne ich die einmal $\begin{align} A, B, C \end{align}$ mit den jeweiligen Winkeln $\begin{align} \alpha, \beta, \gamma \end{align}$ . Dann gelten die Formeln $\begin{align} \cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \cdot \left\| \overrightarrow{AC} \right\|} \end{align}$ $\begin{align} \cos(\beta) = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{\left\| \overrightarrow{BA} \right\| \cdot \left\| \overrightarrow{BC} \right\|} \end{align}$ $\begin{align} \cos(\gamma) = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{\left\| \overrightarrow{CA} \right\| \cdot \left\| \overrightarrow{CB} \right\|} \end{align}$ Wenn du in einer der Formeln im Zähler bei einem Vektor zum Gegenvektor übergehst, erhältst du nicht den korrekten Winkel, sondern seinen Nebenwinkel. Fertige eine Zeichnung an, dann siehst du auch, warum das so ist.
04.11.2020, 17:51	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke.

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