Kegel mit minimalem Volumen

03.11.2020, 08:24

yondaime

Kegel mit minimalem Volumen

Meine Frage:
Gesucht sind die Dimensionen eines Kegels mit minimalem Volumen, welcher eine Kugel mit Radius R = 8 enthält. Verwenden Sie x für den Grundkreisradius des Kegels und y + 8 für dessen Höhe. Bestimmen Sie V in Abhängigkeit von y!

Meine Ideen:
Ich kenne die Formel des Kegels und der Kugel. Das Volumen der Kugel beträgt 2144.66

Wie muss ich jetzt weiterrechnen? Ich verstehe es nicht ganz.

03.11.2020, 08:33

Steffen Bühler

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RE: Kegel mit minimalem Volumen
Reduziere das Problem auf zwei Dimensionen, also mit Dreieck und Kreis.

Viele Grüße
Steffen

03.11.2020, 09:01

yareyare

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RE: Kegel mit minimalem Volumen
Habe ich jetzt gemacht. Aber wie kann ich nun weiterrechnen? Die Fläche des Dreiecks hat zwei Variablen. A = 0.5*x*(y+8)
und die Fläche des Kreises = phi * 64

03.11.2020, 09:45

Steffen Bühler

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RE: Kegel mit minimalem Volumen
Da Du Dich nun angemeldet hast: willkommen im Matheboard!

Mit der Kreisfläche (übrigens pi statt phi, phi ist was anderes) kommst Du wohl nicht weiter. Ich würde jetzt die Steigung der Dreieckskante, die ja durch (-8|0) gehen muss, betrachten. Die kannst Du ja mit zwei verschiedenen Termen angeben, nämlich...

03.11.2020, 13:51

yareyare

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RE: Kegel mit minimalem Volumen
Ich verstehe gar nichts mehr unglücklich

03.11.2020, 14:16

HAL 9000

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Ich würde Kegelhöhe $\begin{eqnarray*} h=y+R=y+8 \end{eqnarray*}$ betrachten, sowie Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ in folgender Skizze (Schnittbild durch den Kegel):

[attach]52090[/attach]

Dann bestehen die Zusammenhänge $\begin{eqnarray*} \tan(\alpha) = \frac{R}{x} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \tan(2\alpha)=\frac{h}{x} \end{eqnarray*}$ , und via Additionstheorem $\begin{eqnarray*} \tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)} \end{eqnarray*}$ bekommt man dann eine Gleichung, die den Zusammenhang der drei Größen $\begin{eqnarray*} R,x,h \end{eqnarray*}$ beschreibt. Die stellt man dann nach $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ um und setzt sie in die Kegelvolumenformel $\begin{eqnarray*} V = \frac{\pi}{3} x^2h \end{eqnarray*}$ ein. Der Rest ist dann eine Extremwertsuche für $\begin{eqnarray*} V=V(x) \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Alternativ (und näher an der Empfehlung in der Aufgabenstellung) kann man die o.g. Gleichung auch nach $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ umstellen und in die Volumenformel einsetzen, das wäre dann eine Extremwertsuche $\begin{eqnarray*} V=V(h) \end{eqnarray*}$ .

03.11.2020, 14:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von yondaime
Bestimmen Sie V in Abhängigkeit von y!

Irgendwie merkwürdig: y ist durch die Bedingung "Kegel mit minimalen Volumen" doch bereits festgeklopft. Ich kann daher nur annehmen, dass das noch ohne diese Minimalitätsforderung gemeint ist, d.h. für alle Kegel, welche die Kugel beinhalten.

P.S.: Sollte eigentlich ein EDIT und kein neuer Beitrag werden - kleiner Unfall. Augenzwinkern

03.11.2020, 21:38

Leopold

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Ein anderer Vorschlag. In HALs Zeichnung betrachte ich das rechtwinklige Dreieck, das die Strecke von der Kegelspitze zum Kugelmittelpunkt als Hypotenuse besitzt. Eine Kathete ist $\begin{align*} R \end{align*}$ , die andere sei $\begin{align*} t \end{align*}$ . In diesem rechtwinkligen Dreieck wendet man Pythagoras an:

$\begin{align*} \left( h - R \right)^2 = R^2 + t^2 \end{align*}$

Das gerade beschriebene Dreieck und die Hälfte des gleichschenkligen Rotationsdreiecks sind ähnlich. Daraus erhält man

$\begin{align*} \frac{t}{h} = \frac{R}{r} \end{align*}$ ( $\begin{align*} r=x \end{align*}$ Radius des Kegelgrundkreises)

Aus diesen beiden Gleichungen kann man $\begin{align*} t \end{align*}$ eliminieren und nach $\begin{align*} r^2 \end{align*}$ auflösen. Man erhält das Kegelvolumen $\begin{align*} V \end{align*}$ als Funktion von $\begin{align*} h \end{align*}$ :

$\begin{align*} V = V(h) \, , \ \ h >2R \end{align*}$

Die beigefügte Euklid-Zeichnung zeigt, wann das Kegelvolumen minimal wird.

04.11.2020, 08:55

HAL 9000

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Und ein dritter Weg zum Aufstellen der Gleichung zwischen $\begin{eqnarray*} R,x,h \end{eqnarray*}$ : Man setzt für das große Dreieck die zwei Flächenformeln $\begin{eqnarray*} F=\frac{2x\cdot h}{2} = xh \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} F = \frac{uR}{2} \end{eqnarray*}$ mit Dreiecksumfang $\begin{eqnarray*} u = 2x+2\sqrt{x^2+h^2} \end{eqnarray*}$ gleich, und formt dann um

$\begin{eqnarray*} xh &=& \left(x+\sqrt{x^2+h^2}\right)R\qquad \Bigm|\;-Rx\\ x\left(h-R\right) &=& \sqrt{x^2+h^2}R\qquad \Bigm|\; ()^2\\ x^2\left(h^2-2hR+R^2\right) &=& \left(x^2+h^2\right)R^2\qquad \Bigm|\;-x^2R^2\\ x^2h\left(h-2R\right) &=& h^2R^2\qquad \Bigm|\;:h\left(h-2R\right)\\ x^2 &=& \frac{hR^2}{h-2R} \end{eqnarray*}$

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