Lage von zwei Geraden bestimmen

04.11.2020, 18:19

Mathman91

Lage von zwei Geraden bestimmen

Hallo,

ich habe ein Beispiel, wo es um die Lage zweier Geradenpaare geht die durch folgende Punkte gegeben sind:

$\begin{eqnarray*} P1=\left(3,4,6\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P2=\left(-1,-2,4\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P3=\left(3,7,-2\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P4=\left(5,15,-6\right) \end{eqnarray*}$

Die Geraden lauten dann:

$\begin{eqnarray*} \vec{g1}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und:

$\begin{eqnarray*} \vec{g2}=\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix}+\mu*\begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kollinearität prüfen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix}=r*\begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Lösung:
$\begin{eqnarray*} -2 =r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -0,75=r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,5=r \end{eqnarray*}$

Nun umstellen und Gauß awenden:

$\begin{eqnarray*} 1+0,5 =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 +1=-0,6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 + 0=-5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -5 \end{eqnarray*}$ ist eine falsche Aussage, somit sind die Geraden windschief.

Stimmt das so, wie ich das gerechnet habe?

SG

04.11.2020, 18:46

geometriker

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Zitat:

Lösung:
-2=r
-0,75=r
0,5=r

Und was ist die Schlussfolgerung daraus ?

Zitat:

Nun umstellen und Gauß awenden:

1+0,5=0
0+1=-0,6
0+0=-5

Das ist, so wie es da steht, unverständlich.

Wenn du es von Hand lösen willst, dann nimm dir erst 2 der 3 Gleichungen her und löse das LGS.
Die Lösungen, die du dadurch erhältst, kannst du dann in die nicht benutzte Gleichung zur Probe einsetzen.
Gelingt die Probe, dann schneiden sich die Geraden - andernfalls sind die Geraden windschief.

04.11.2020, 21:15

mYthos

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Die Richtungsvektoren alleine zu prüfen, stellt NICHT die Aussage sicher, ob die Geraden windschief (kreuzend) sind oder nicht!
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel, könnten die Geraden immer noch in einer Ebene liegen und einander schneiden.

Also ist das lGS unter Einbeziehung der Stützpunkte auf Lösbarkeit zu untersuchen.

Oder man bestimmt den kleinsten räumlichen Abstand ( $\begin{eqnarray*} d_n \end{eqnarray*}$ ) der beiden Geraden. Er liegt auf dem Gemeinlot und ist ein Normalabstand.
Ist dieser Null, so schneiden die Geraden einander, andernfalls sind sie windschief (einander kreuzend in räumlicher Distanz $\begin{eqnarray*} d_n \end{eqnarray*}$ ).

$\begin{eqnarray*} d_n = \left| (\vec {a_1} - \vec{a_2}) \cdot \frac{\vec u \ x \ \vec v}{|\vec u \ x \ \vec v|} \right|;\quad \vec{a_1}, \ \vec{a_2} \ .. \ \text{ Stützpunktvektoren }, \ \vec u, \ \vec v \ .. \ \text{Richtungsvektoren}; \quad \frac{\vec u \ x \ \vec v}{|\vec u \ x \ \vec v|}=\vec{n_0} \ \text{ .. gemeinsamer Einheits-Normalvektor} \end{eqnarray*}$

somit

$\begin{eqnarray*} d_n = |(\vec {a_1} - \vec {a_2}) \cdot \vec{n_0}| \end{eqnarray*}$

mY+

08.11.2020, 12:09

Mathman91

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Kollinearität:

Lösung:

$\begin{eqnarray*} -2=r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -0,75=r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,5=r \end{eqnarray*}$

das bedeutet, dass die beiden Geraden nicht kollinear sind.
Also können sie sich schneiden oder windschief sein.

Nun löse ich das GLS mit Gauß auf:

Lösung:

$\begin{eqnarray*} 1. Gleichung:\: 1+0,5=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2. Gleichung:\: 0+1=-0,6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3. Gleichung:\: 0+0=-5 \end{eqnarray*}$

0=-5 beudetet, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist.
und 0=-5 ist ja eine falsch Aussage.

Falsche Aussage bedeutet, das die beiden geraden Windschief sind.

Die Rechnung müsste ja so richtig sein?

VG

08.11.2020, 19:56

mYthos

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Nein, so nicht! Was hast du da gemacht? Ich habe doch extra geschrieben, unter Einbeziehung der Stützpunkte.
Das System lautet daher

$\begin{eqnarray*} (1) \ \ 3 - 4 \lambda = 3 + 2 \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ \ 4 - 6 \lambda = 7 + 8 \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) \ \ 6 - 2 \lambda = -2 - 4 \mu \end{eqnarray*}$
----------------------------------
Dann löst man beispielsweise das System: Gl (1) und Gl (2) nach $\begin{eqnarray*} \lambda, \ \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac 3 {10}, \ \mu = - \frac 3 5 \end{eqnarray*}$

So. Nun mittels der 3. Gleichung prüfen, ob es einen Widerspruch gibt oder nicht (!)

mY+

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