Menge geschnitten mit ihrer Potenzmenge

06.11.2020, 00:33

3rdtimesacharm

Menge geschnitten mit ihrer Potenzmenge

Hallo,

für folgende Aufgabe habe ich mir neulich schon mal wo anders Hilfe geholt. Leider ist der Thread etwas "ausgeartet" und nach mittlerweile fast 70 Kommentaren bin ich verwirrter als zuvor und bräuchte nochmal frischen Input.

Zitat:

Sei A eine beliebige Menge. Treffen die folgenden Vermutungen zu? Geben Sie ein Beispiel an oder beweisen Sie das Gegenteil.

a) Kann es sein, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(A) \end{eqnarray*}$ disjunkt sind?

Antwort: Ja, können Sie.
Beispiel: Sei $\begin{eqnarray*} A := \end{eqnarray*}$ {1} . Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(A) = \left\{ { {\emptyset , \left\{ {1}\right\} }}\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cap \mathcal{P}(A) = \left\{ \emptyset \right\} \end{eqnarray*}$ .

Zwei Mengen sind genau dann disjunkt, wenn ihr Schnitt die leere Menge ist.

Zitat:

b) Kann es sein, dass der Schnitt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(A) \end{eqnarray*}$ nicht leer, aber endlich ist?

Antwort: Ja, das geht, und zwar, wenn in der Menge A nicht nur Elemente, sondern auch Mengen enthalten sind.
Beispiel: Sei $\begin{eqnarray*} A := \end{eqnarray*}$ {1, 2, {1, 2}}.
Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(A) = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ , {1}, {2}, {1, 2}, {1, 2}, {1, {1,2}}, {2, {1,2}, {1, 2, {1, 2}}

Zitat:

c) Kann es sein, dass der Schnitt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(A) \end{eqnarray*}$ sogar unendlich viele Elemente enthält?

Antwort: Ja, das kann sein.
Beispiel: Sei $\begin{eqnarray*} A :=\mathbb N \cup \mathcal{P}(\mathbb N ) \end{eqnarray*}$ .
Dann hat $\begin{eqnarray*} A \cap \mathcal{P}(A) \end{eqnarray*}$ undendlich viele Elemente.

Würde mich über Feedback freuen.

Dankeschön! Wink

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