Äquivalenzrelation und Zahlenpaare

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MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation und Zahlenpaare
Ich hatte ja gestern schon mal einen ähnlichen Post zum Thema, der schnell und bestens beantwortet wurde. Jetzt ist mir da eine zweite Aufgabe aufgefallen, bei der ich den Lösungssinn nicht erkenne:
Aufgabe:
Welche Zahlenpaare fehlen in der folgenden Relation, damit sie zur Äquivalenzrelation auf M wird?
R={(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1)} mit M={1,2,3,4}
In der Lösung steht, dass nur (1,1) fehlt. Warum? Was ist mit den anderen Paaren?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

(1,1) fehlt, damit R reflexiv wird. Symmetrisch und transitiv ist R schon.
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation und Zahlenpaare
Mmmh, ja schon. aber hat man denn z. B. die (1,4),(4,1) einfach weggelassen, denn die wären ja wohl auch symmetrisch. Und wie muss ich bei den gegebenen Paaren die Transitivität verstehen? Ich bekomme einfach das x~y und y~z ==> x~z nicht gebacken.
Danke MM
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Relation R aus MxM ist symmetrisch, wenn zu jedem (a,b) in R auch (b,a) in R ist. Das heißt nicht, dass jedes Paar (a,b) in R sein muss. Sonst wäre ja nur die eine Relation symmetrisch, die alle Paare enthält, und das ist MxM selbst. So langweilig darf Symmetrie nicht sein.

Ähnlich verhält es sich mit der Transitivität. (1,3) und (3,1) liegt in R, also muss auch (1,1) und (3,3) in R liegen, damit R transitiv ist. (3,3) ist schon in R, (1,1) haben wir für die Reflexivität dazu genommen. Mehr ist nicht nötig.
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation und Zahlenpaare
Hallo, besten Dank für die Antwort. Am Beispiel ist mir jedoch einiges unklar.
Also (1,3) ist doch wohl x~y. Und (3,1) ist y~x. Und wenn da jetzt (1,1) mit x~x dazukommt, ja wo ist denn da das z? Oder sagt man in diesem Falle für (3,1) y~z? Und falls ja, wieso ist dann 1 plötzlich z statt x?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Wort "plötzlich" ist unangebracht, denn Mathematik ist zeitunabhängig. Bei allen Formeln und Aussagen mit Variablen wird nichts darüber gesagt, ob die Variablen gleich oder verschieden sind. x=z=1,y=3 ist nicht ausgeschlossen.
 
 
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