Sigma-Algebra

06.11.2020, 11:05	KologorovEWS	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergänzung, da falsch angezeigt Guten Tag, ich besuche aktuell die EWS und versuche den Begriff der sigma-Algebra zu verstehen. Ich habe die Grundmenge G:= {1,....,6} und die sigma-Algebra A:= { $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ ,{1,2,3},{4,5,6},G} gegeben. Nun soll ich überprüfen, ob A eine sigma-Algebra ist. Hoffe die Frage/Fragen sind nicht allzu banal! Drei Dinge zu überprüfen: (i): $\begin{eqnarray} G \in A \end{eqnarray}$ stimmt! (ii): $\begin{eqnarray} B \in A => B^{c} \in A \end{eqnarray}$ stimmt ebenfalls! (iii): $\begin{eqnarray} B_{1},... \in A => \bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n} \in A \end{eqnarray}$ Hierzu die erste Frage: Wenn ich $\begin{eqnarray} \emptyset \cup \left\{ 1,2,3\right\} \cup \left\{ 4,5,6 \right\} \cup G \end{eqnarray}$ habe, ist es denn die Menge { $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ ,1,2,3,4,5,6} oder $\begin{eqnarray} \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} \end{eqnarray}$ ? Also die Frage: Wie vereinigt man eine Menge, mit der leeren Menge? Wäre es die Menge {1,2,3,4,5,6} dann würde (iii) ebenfalls stimmen und A wäre eine sigma-Algebra. Nun geht die Aufgabe weiter und fragt Folgendes: 1. $\begin{eqnarray} \emptyset \in A \end{eqnarray}$ ? Antwort: Ja! 2. A sigma-vereinigunsstabil? Antwort: Bin mir nicht sicher. 3. A komplementstabil? Antort: Ja! Sind die 2. + 3. nicht genau Voraussetzung für eine sigma-Algebra? LaTeX korrigiert. Steffen
06.11.2020, 11:59	KolmogorovEWS	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die LaTeX-Korrektur!
06.11.2020, 12:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Vereinigung mit der leeren Menge ändert die Menge nicht, d.h., $\begin{eqnarray} A\cup\emptyset = A \end{eqnarray}$ . Mit folgender Checkliste kann man prüfen, ob ein endliches Mengensystem $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ eine Sigma-Algebra über einer gegebenen nichtleeren Menge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist: 1) $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ sollten in $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ enthalten sein. 2) Man bestimmt die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ , d.h. zählt alle Elemente. Diese Anzahl sollte notwendig eine Zweierpotenz sein, d.h. $\begin{eqnarray} \left\|\mathcal{A}\right\| = 2^m \end{eqnarray}$ für irgendeine positive natürliche Zahl $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ . Ist das nicht der Fall, dann ist $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ gewiss keine Sigma-Algebra (wenn man hier noch nicht abbricht, dann schlägt spätestens Punkt 4) fehl). 3) Man identifiziert alle nichtleeren Mengen $\begin{eqnarray} B\in \mathcal{A} \end{eqnarray}$ , die in keiner anderen Menge aus $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ vollständig enthalten sind, d.h. für die es KEIN $\begin{eqnarray} C\in \mathcal{A} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} B\subsetneq C \end{eqnarray}$ gibt. Das müssen nun genau $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Mengen $\begin{eqnarray} B_1,\ldots,B_m \end{eqnarray}$ sein, die einerseits paarweise disjunkt sind und andererseits deren Vereinigung gleich $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist. 4) Sämtliche anderen nichtleeren Mengen von $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ müssen als Vereinigung von zwei bis $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Mengen aus $\begin{eqnarray} B_1,\ldots,B_m \end{eqnarray}$ darstellbar sein. Auf der anderen Seite MÜSSEN auch alle solchen Vereinigungen in $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ enthalten sein. Diese Mengen $\begin{eqnarray} B_1,\ldots,B_m \end{eqnarray}$ nennt man auch atomare (= unteilbare) Mengen der Sigma-Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ . Genau dann, wenn alle Punkte 1)-4) erfüllt sind, ist $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ eine Sigma-Algebra. Arbeiten wir mal im vorliegenden einfachen Fall diese Checkliste ab: 1) Ok. 2) Wir zählen $\begin{eqnarray} \left\|\mathcal{A}\right\| = 4 = 2^2 \end{eqnarray}$ , d.h., mit $\begin{eqnarray} m=2 \end{eqnarray}$ kann auch dieser Punkt abgehakt werden. 3) Wir identifizieren die atomaren Mengen $\begin{eqnarray} B_1=\{1,2,3\} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} B_2=\{4,5,6\} \end{eqnarray}$ . Es sind $\begin{eqnarray} m=2 \end{eqnarray}$ disjunkte Mengen, und ihre Vereinigung ist tatsächlich $\begin{eqnarray} \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray}$ . 4) Das betrifft im vorliegenden Fall nur noch die eine Zweiervereinigung $\begin{eqnarray} B_1\cup B_2=\Omega \end{eqnarray}$ , also ist auch dieser Punkt erfüllt.
06.11.2020, 12:30	KolmogorovEWS	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die ausführliche Antwort, dass hat sehr geholfen!

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