Wahrscheinlichkeit Kugeln ziehen |
| 06.11.2020, 19:32 | Egaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Wahrscheinlichkeit Kugeln ziehen zwei Spieler A und B spielen. Jeder hat eine Urne mit 20 Kugeln beschriftet mit den Zahlen 1 bis 20. Sie ziehen abwechselnd je eine Kugel. Spieler A gewinnt, wenn sein Kontrahent bis zum Ende des Spieles niemals die Kugel mit der gleichen Zahl zieht, wie A. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A? Kann mir jemand helfen, bei dieser Aufgabe? Danke im Voraus, Egaus |
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| 06.11.2020, 21:37 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
A gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte 20er-Permutation keine Fixpunkte enthält. Zu diesem Problem gibt es haufenweise Threads hier im Board, besonders in der Weihnachtszeit - probier mal das Such-Stichwort "Wichtelproblem" ... |
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| 07.11.2020, 07:14 | early | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Geht das nicht auch anders? 1.Zug: 19/20 2.Zug: 18/19 3.Zug: 17/18 usw. Dann alles multiplizieren. Ich käme damit auf 1/20. Oder sehe ich das komplett falsch. |
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| 07.11.2020, 12:56 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich nehme an, in deiner Auflistung war es deine Absicht, in der -ten Zeile die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür anzugeben, dass im -ten Zug die Kugeln ungleich sind unter der Bedingung, dass das in den Zügen auch schon der Fall war? Nun denn, schauen wir uns das mal genau an:
Ist richtig.
Ist falsch: 18 der 19 Nummern tauchen sowohl bei A als auch bei B auf, während die eine restliche Nummer jeweils exklusiv nur bei A bzw. B vorhanden ist. Die (bedingte) Wahrscheinlichkeit für ungleiche Kugeln in diesem zweiten Zug ist daher , was etwas größer als deine falschen ist.
Ab hier wird es komplett unübersichtlich, auf diese deine Weise vorzugehen: Es kommt hier dann nämlich drauf an, welche Kugeln genau in den ersten beiden Zügen gezogen wurden: Beispielsweise ist diese bedingte Wahrscheinlichkeit jeweils verschieden für folgende Fälle von (A,B)-Werten in den ersten beiden Zügen: 1.Fall: (1,2) (3,4) 2.Fall: (1,2) (3,1) 3.Fall: (1,2) (2,1) Dass das ab 4.Zug noch viel wilder wird, muss ich wohl nicht mehr extra betonen... |
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| 07.11.2020, 13:09 | early | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke. Ich habe so gedacht. Beispiel; A zieht 20 Dass B nicht-20 zieht, ist 19/20 Dann zieht A 19 Dass B nicht-19 zieht, ist 18/19 usw. Es geht doch darum, dass B immer etwas anderes zieht als A. Verstehst du, was ich meine? |
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| 07.11.2020, 13:12 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich verstehe, dass du es nicht für nötig hältst dir durchzulesen, dass ich genau das schon als falsch nachgewiesen habe. 
------------------------------------------------------------------------------------------------- Aber gut, ein LETZTER Versuch, angelehnt an deine Beschreibung: 1.Zug: A zieht 20 Dass B nicht 20 zieht, geschieht mit Wkt 19/20, beispielsweise möge B die 19 ziehen. 2.Zug: Wir müssen verschiedene Fälle unterscheiden, welche Kugel A nun zieht. 1.Fall: A zieht irgendeine Kugel von 1..18. Dass B nicht diese Nummer zieht, geschieht mit Wkt 18/19. 2.Fall: A zieht 19. Dass B nicht 19 zieht, ist SICHER (Wkt 1), da B gar keine 19 mehr in der Urne hat!!! Da nun der 1.Fall mit Wkt 18/19 und der 2.Fall mit Wkt 1/19 eintritt, bekommt man genau jene Wkt heraus, welche du eben gerade ignoriert hast. |
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| 07.11.2020, 13:41 | early | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Alles klar. Ich stand irgendwie auf der Leitung. Vielen Dank. 
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| 07.11.2020, 17:26 | Egaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Wahrscheinlichkeit Kugeln ziehen muss das jetzt Zug für Zug bis zum 20 ten Zug ermittelt werden? Gibt es für diesen Fall keine Formel? Leider habe ich hier kein entsprechendes Beispiel als "Muster" gefunden. 
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| 07.11.2020, 19:06 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ist denn das so schwer, mal im Forum nach "Wichtelproblem" zu suchen??? Ergebnis ist Wahrscheinlichkeit , hier bei dir speziell für n=20. |
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| 07.11.2020, 19:16 | early | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Hal: Ist das nicht eher Uni-Niveau? |
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| 07.11.2020, 19:27 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich weiß nicht, was du damit sagen willst: Soll was "einfacheres" rauskommen, nur weil Egaus es in Schulmathematik gepostet hast? Es kommt raus, was eben rauskommt. |
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| 07.11.2020, 19:48 | early | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es kommt immer wieder vor, dass eine Aufgabe anders gedacht ist als die Formulierung es ausdrückt. Ich glaube nicht, dass ein Schüler auf die Lösung kommt. Oder der Lehrer hat sich bei der Auswahl vergriffen oder nicht nachgedacht, ob seine Schüler das auch lösen können. Gerade in Corona-Zeiten wäre das denkbar. |
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| 07.11.2020, 20:58 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na dann erzähl du doch mal, wie du die Aufgabe auffasst. |
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| 08.11.2020, 07:55 | early | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So wie du. Nur hatte ich die bedingte WKT übersehen. Ich erlebe z.Z. öfter, dass Lehrer Aufgaben online schicken und die Schüler damit nicht zurechtkommen, weil die Hinführung fehlt oder nicht verstanden wird. @Egaus: In welche Klasse gehst du? |
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| 08.11.2020, 08:41 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du wie von mir empfohlen einige der Threads zu diesem Thema anschaust wirst du feststellen, dass zumeist die sogenannte Siebformel (auch als Prinzip von Inklusion und Exklusion bekannt) zur Lösungsfindung angewandt wird. Diese Formel ist den meisten Schülern zumindest für den Fall von n=2 Mengen/Ereignissen bekannt: für endliche Mengen: als Wahrscheinlichkeiten: Bisweilen sieht man auch den Fall n=3 in Schulaufgaben, z.B. in der Mengenlehre hinsichtlich der Beziehungen von drei endlichen Mengen mit "allgemeinem" Schnittbild (z.B. hier oder auch da), da kommen dann auch Schüler schon in Kontakt mit den Formeln bzw. der Stochastikversion . Wenn man dieses Prinzip nun auf allgemeine natürliche ausdehnt, gelangt man zu dieser Siebformel. Das mag kein Pflichtstoff an Schulen sein, aber andererseits auch nichts, was man gleich von vornherein als "verboten kompliziert" betrachten muss... |
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| 08.11.2020, 10:01 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das Problem ist, daß die Kombinatorik an den Schulen fast ganz verschwunden ist. Rudimentär werden da (vielleicht) noch ein paar Standardaufgaben, die immer gleich gehen, gelöst (Ziehen mit und ohne Rücklegen und mit und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge). Und das war es auch schon. Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Schule findet an Bäumen statt. Für die Fachleute ist klar, daß diese Bäume auf dem Wenn-Dann-Prinzip beruhen, daß es sich also um eine Konstruktion und Darstellung entlang bedingter Wahrscheinlichkeiten handelt. Viele interessante Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich durch ein Urnenmodell beschreiben. Dafür sind die Bäume prädestiniert. Und man kommt an ihnen sehr schnell zu interessanten Ergebnissen, ohne allzu viel Kombinatorik zu brauchen. Aber man stößt mit den Bäumen eben auch bald an seine Grenzen. Die Aufgabe hier ist so ein Beispiel. Mit Wenn-Dann wird das ziemlich kompliziert. Die kombinatorische Lösung dagegen ist mit vertretbarem Aufwand erzielbar, wenn auch die kombinatorischen Mittel über das unmittelbar Elementare hinausgehen. Das ist die Krux. Ich möchte daher ein wenig um Verständnis für Schüler werben, die sich scheinbar unwillig oder widerborstig anstellen, wenn man ihnen Lösungsvorschläge vorstellt. Oft können diese Schüler mit den Vorschlägen nichts anfangen, weil sie außerhalb der ihnen bekannten Methoden liegen. Wie Pawlowsche Hunde greifen sie nach einzelnen Stichworten, die ihnen bekannt vorkommen, und versuchen, die Informationen irgendwie in ihrer Baumstruktur unterzubringen, womit sie zwangsläufig scheitern müssen. Vielleicht wäre es hilfreich, bevor man sich Arbeit macht und eingehendere Lösungshilfen anbietet, nach dem Kenntnisstand der Schüler zu fragen: Weißt du, was ein Laplace-Experiment ist? Kennst du den allgemeinen Additionssatz? Hast du schon einmal etwas von der Siebformel gehört? Und so weiter, und so fort. Irgendwie traurig, aber so sieht es aus. |
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| 08.11.2020, 17:30 | Egaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielen Dank für die Hilfe. Bei Mengenlehre muss ich passen. Die geschätzten Beiträge haben mir weiter geholfen.
HG, Egaus |
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| 09.11.2020, 10:59 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Klingt für mich in dieser Kombination etwas widersprüchlich: Der erste Satz etwas mutlos, der zweite hingegen optimistisch (oder noch nur reine Höflichkeit?). Falls du Fragen dazu hast, wie genau dieser Alternativweg über die Permutationen funktioniert, nur zu! |
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